Чтобы судить о монотонности и ограниченности рекуррентной последовательности, можно использовать следующие критерии:

Монотонность

Увеличивающая последовательность: Последовательность {a_n} называется возрастающей, если для всех n верно: an ≤ a{n+1}. Чтобы установить монотонность:

Проверьте условия рекуррентной формулы. Если a_{n+1} ≥ a_n для всех n, то последовательность будет монотонной.Если возможно, проанализируйте разность a_{n+1} - a_n. Если эта разность неотрицательна для всех n, последовательность монотонна.

Убывающая последовательность: Последовательность {a_n} называется убывающей, если для всех n верно: an ≥ a{n+1}. Аналогично:

Проверьте условия рекуррентной формулы. Если a_{n+1} ≤ a_n для всех n, это означает убывание.Проанализируйте разность a_{n+1} - a_n. Если эта разность неположительна для всех n, последовательность монотонна.Ограниченность

Верхняя и нижняя границы: Последовательность будет ограниченной сверху, если существует число M (верхняя граница), такое что a_n ≤ M для всех n, и ограниченной снизу, если существует число m (нижняя граница), такое что a_n ≥ m для всех n.

Проверка с помощью предела: Если можно определить предел последовательности a_n при n → ∞, то если этот предел существует и конечен, последовательность будет ограниченной.

Теорема о монотонной последовательности: Если последовательность является монотонной и ограниченной, то она сходится. Следовательно, если вы сможете показать, что последовательность монотонна и имеет предел, это также будет подтверждением ее ограниченности.

Пример

Рассмотрим рекуррентное соотношение a_{n+1} = (1/2) * a_n + 1. Чтобы выяснить, ограничена ли эта последовательность и монотонна ли, мы можем:

Проанализировать разность a_{n+1} - a_n, чтобы увидеть, является ли она положительной или отрицательной.Найти предельное значение (если оно существует) и проверить, находится ли оно в определенных пределах, определяющих ограниченность.

Используя такие подходы, вы сможете установить монотонность и ограниченность любой рекуррентной последовательности.