При поиске экстремума функции с использованием производной первой важно помнить, что, найдя точки, где первая производная равна нулю (критические точки), необходимо провести дальнейший анализ для определения характера этих точек (максимум, минимум или седловая точка). Если в процессе анализа была упущена проверка второй производной, это может привести к нескольким ложным наводкам:

Седловые точки: Если вторая производная в критической точке равна нулю (D=0), это не дает информации о характере точки. Можно ошибочно полагать, что точка является минимумом или максимумом, хотя на самом деле это может быть седловая точка.

Ложные максимумы и минимумы: Если в критической точке первая производная равна нулю, но вторая производная положительна (D>0) или отрицательна (D<0) не проверялась, можно ошибочно считать точку минимумом (или максимумом) без фактического подтверждения.

Монтонаж функции: Не проверив поведение функции на интервалах, определяемых критическими точками, можно сделать неверные выводы о характере экстремумов.

Для завершения анализа стоит следовать следующему алгоритму:

Найдите критические точки: Найдите значения x, при которых первая производная равна нулю или не определена.

Проверьте вторую производную:

Если D > 0 в критической точке, то эта точка — локальный минимум.Если D < 0, то это локальный максимум.Если D = 0, необходимо дополнительно исследовать знак производной в окрестности данной точки или использовать более высокие производные (метод высших производных) или другие методы (например, метод первой производной).

Исследуйте поведение функции: Рассмотрите производные в интервалах, определяемых критическими точками, чтобы понять, как функция ведет себя в этих интервалах (возрастает или убывает).

Графический анализ: Построение графика функции может помочь визуализировать экстремумы и подтвердить ваши вычисления.

Следуя этим шагам, вы поможет избежать ложных наводок и надежно определить природу критических точек.