Для доказательства сходимости распределений случайных величин с помощью характеристических функций (ХФ) мы можем использовать теорему, утверждающую, что если последовательность характеристических функций ( \varphi_n(t) ) сходится к некоторой функции ( \varphi(t) ) для всех ( t ) в некоторой окрестности нуля, и при этом ( \varphi_n(t) ) аналитична в окрестности нуля, то существует предельное распределение, соответствующее характеристической функции ( \varphi(t) ).

Определение характеристической функции: Для случайной величины ( X ) определяем характеристическую функцию как
[
\varphiX(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \int{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f_X(x) \, dx,
]
где ( f_X(x) ) — плотность распределения ( X ).

Изучение последовательности характеристических функций: Рассматриваем последовательность случайных величин ( Xn ) и соответствующие им характеристические функции ( \varphi{X_n}(t) ).

Сходимость характеристических функций: Анализируем, сходится ли последовательность ( \varphi_{X_n}(t) ) к некоторой функции ( \varphi(t) ) (для ( t ) в окрестности нуля).

Применение теоремы о сходимости характеристических функций: Если ( \varphi_{X_n}(t) ) сходится к ( \varphi(t) ), и ( \varphi(t) ) является характеристической функцией для некоторого распределения, то распределения случайных величин ( X_n ) сходятся по распределению к распределению, соответствующему ( \varphi(t) ).

Рассмотрим, например, случайные величины ( X_n ), которые распределены нормально:
[
X_n \sim N(0, \frac{1}{n}).
]

Здесь характеристическая функция ( \varphi_{Xn}(t) ) равна:
[
\varphi{X_n}(t) = e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{n}}.
]

Теперь мы можем исследовать предел:
[
\lim{n \to \infty} \varphi{Xn}(t) = \lim{n \to \infty} e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{n}} = e^0 = 1.
]

Это означает, что ( \varphi(t) = 1 ), что соответствует характеристической функции случайной величины, которая имеет распределение Dirac (точечное в 0).

Таким образом, мы показываем, что случайные величины ( X_n ) сходятся по распределению к случайной величине ( X ) с распределением Dirac в 0. Существование таких предельных распределений и соблюдение условий сходимости вполне показывают, как можно применять критерии сходимости характеристических функций на практике.