Доказательство того, что квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду через ортогональное преобразование, включает несколько этапов. Рассмотрим данный процесс шаг за шагом:

Шаг 1: Определение квадратичной формы

Квадратичная форма в n переменных может быть записана в виде ( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} ), где ( \mathbf{x} ) — это вектор переменных, а ( A ) — симметрическая матрица размера ( n \times n ).

Шаг 2: Свойства симметрической матрицы

Помним, что любая симметрическая матрица ( A ) имеет свойства:

Все собственные значения — действительные.Она может быть диагонализирована с использованием ортогональных матриц, то есть ( A = PDP^T ), где ( D ) — диагональная матрица (собственные значения), а ( P ) — ортогональная матрица (состоящая из собственных векторов).Шаг 3: Если требуется, найти собственные значения и собственные векторы

Решаем характеристическое уравнение ( \det(A - \lambda I) = 0 ) для нахождения собственных значений ( \lambda_i ). Затем находим собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению.

Шаг 4: Ортогональная матрица

Собственные векторы, полученные из матрицы ( A ), формируют ортонормированный базис, который можно использовать для построения ортогональной матрицы ( P ).

Шаг 5: Преобразование квадратичной формы

Используя ортогональное преобразование, выразим новую квадратичную форму через ( P ):
[
Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}
]
где ( \mathbf{y} = P^T \mathbf{x} ). Здесь ( D ) — диагональная матрица, содержащая собственные значения.

Шаг 6: Введение диагональной формы

Теперь ( Q(\mathbf{y}) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \ldots + \lambda_n y_n^2 ), что и есть диагональная форма квадратичной формы.

Шаг 7: Подведение итогов

Мы показали, что при помощи ортогонального преобразования квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду, поскольку симметрическая матрица ( A ) может быть диагонализирована с использованием ортогональных матриц.

Дополнительные замечания:Если необходимо, можно рассмотреть частные случаи, например, когда собственные значения положительны или отрицательны, чтобы дополнять результаты с точки зрения геометрической интерпретации.Можно будет обсудить связь между свойствами о числах, основанных на собственных значениях, и геометрическим расположением изначальной и диагонализированной форм квадратичной функции.

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем доказать, что квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду через ортогональное преобразование.