Формула Стокса применима к ориентируемым многообразиям, поскольку она связывает интеграл по границе поверхности с интегралом по самой поверхности. При попытке применить ее к неориентируемой поверхности, например, к поверхности Мёбиуса, возникают определенные сложности, связанные с отсутствием постоянного направления нормали.

Условия, нарушенные при применении формулы Стокса:

Ориентируемость поверхности: Неориентируемые поверхности не имеют единого и непрерывного выбора нормали, что приводит к неоднозначности в определении границы.

Определение нормали: Для формулы требуется, чтобы нормаль к поверхности могла быть однозначно определена на всей поверхности, что невозможно на неориентируемой поверхности.

Направления интегралов: Если ориентация поверхности не определена, то направления интегралов могут не совпадать, что приводит к неправильным результатам.

Как скорректировать подход:

Разделение поверхности на ориентируемые части: Если это возможно, можно разбить неориентируемую поверхность на ориентируемые части и применять формулу Стокса к каждой из них, а затем объединять результаты.

Использование ориентации на подмножествах: Для интеграции по неориентируемым поверхностям можно выбрать локальную ориентацию на каждой части поверхности и следить за знаками при суммировании результатов.

Ковариантные методы: Можно использовать более общий подход, основанный на дифференциальной геометрии и теории связности, например, формулы для связных многообразий.

Переход к пограничным значениям: Можно рассмотреть ограничения и изменения с учетом связей между различными частями поверхности и их границами.

Таким образом, при работе с неориентируемыми поверхностями необходимо использовать более осторожный и гибкий подход, чтобы учесть их особые свойства и избегать ошибок в расчетах.