Чтобы проверить, что последовательность функций сходится почти везде, нужно воспользоваться понятием меры нуля. Последовательность функций ( fn ) на измеримом пространстве ( (X, \mathcal{A}, \mu) ) сходится почти везде к функции ( f ), если существует множество ( E \subseteq X ) с мерой нуля (то есть ( \mu(E) = 0 )), такое что для всех ( x \in X \setminus E ) выполняется ( \lim{n \to \infty} f_n(x) = f(x) ).

Таким образом, для проверки сходимости почти везде нужно:

Найти множество, где сходимости не происходит, и убедиться, что его мера равна нулю.Показать, что вне этого множества последовательность функций действительно сходится к заданной функции.Отличия сходимости почти везде, сходимости в мере и сходимости по ( L^p )

Сходимость почти везде:

Как уже упоминалось, последовательность ( f_n ) сходится почти везде к ( f ), если существует множество меры нуля, на котором эта сходимость не выполняется. Это означает, что для "большинства" точек в пространстве сходимость выполняется.

Сходимость в мере:

Последовательность ( f_n ) сходится в мере к ( f ) (называется сходимостью в мере), если для любого ( \epsilon > 0 ) мера множества, где ( |f_n - f| \geq \epsilon ), стремится к нулю при ( n \to \infty ):
[
\mu({ x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon }) \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.
]Сходимость в мере подразумевает, что последовательность функций не только сходится почти везде, но и "устойчиво", в том смысле, что ее отклонение от предела становится малым в больших измеримых множествах.

Сходимость по ( L^p ):

Последовательность ( f_n ) сходится по ( L^p ) к ( f ) (для ( 1 \leq p < \infty )), если
[
| fn - f |{L^p} = \left( \int_X |f_n - f|^p \, d\mu \right)^{1/p} \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.
]Эта форма сходимости подразумевает, что не только ( f_n ) сходится к ( f ) в среднем (в смысле интеграла), но и, как следствие, она обеспечивает сходимость в мере и почти везде для функций, которые лежат в ( L^p )-пространстве.Взаимосвязь между этими концепциями:Сходимость почти везде не всегда ведет к сходимости в мере, но если функция сходится в мере, то она остается почти везде сходящейся. Если ( f_n ) сходится по ( L^p ), то это подразумевает сходимость в мере и почти везде, если функции лежат в ( L^p ).

Таким образом, от слабой сходимости почти везде к более сильным формам — сходимости в мере и сходимости по ( L^p ) — можно проводить градацию в зависимости от мерности и стабильности сходимости.