Утверждение "матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами одного пространства, пропорциональны единичной" верно для конечномерных алигебр матриц и может быть обосновано следующим образом.

Рассмотрим векторное пространство ( V = \mathbb{R}^n ) или ( \mathbb{C}^n ), а соответствующую алгебру матриц ( \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) ) или ( \mathbb{M}_n(\mathbb{C}) ). Пусть ( A ) — квадратная матрица размерности ( n ), которая коммутирует со всеми матрицами ( B ) из данной алгебры, т.е. ( AB = BA ) для всех матриц ( B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) ) или ( \mathbb{M}_n(\mathbb{C}) ).

Для матриц, которые коммутируют со всеми матрицами, можно привести следующее доказательство:

Определение коммутатора: Если матрица ( A ) коммутирует с любой матрицей ( B ), это значит, что ( A ) действует как скаляр на любой вектор, когда он умножается со всеми возможными матрицами ( B ).

Выбор стандарной базиса: Для любого базиса в ( \mathbb{R}^n ) или ( \mathbb{C}^n ), можно конструировать матрицы ( B ), которые представляют собой элементарные операции, такие как перестановка базисных векторов.

Скоплению структуры: Это приводит к тому, что сам ( A ) должен быть пропорционален единичной матрице, то есть существовать скаляр ( \lambda ) такой, что ( A = \lambda I ), где ( I ) — единичная матрица.

Таким образом, мы можем заключить, что если матрица ( A ) коммутирует со всеми матрицами в конечномерной алгебре матриц ( \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) ) или ( \mathbb{M}_n(\mathbb{C}) ), то она действительно является пропорциональной единичной матрице.

Это утверждение верно для алгебры матриц над полями (например, ( \mathbb{R} ) или ( \mathbb{C} )) в конечном размере. Однако, в некоторых случаях, в бесконечномерных алгебрах или более сложных структурах (например, в алгебрах операторов на гильбертовых пространствах), это может не выполняться.