Для решения рационального неравенства ( \frac{x + 8}{x} \leq 6 ) начнем с приведения его к стандартному виду.

Переносим 6 в левую часть неравенства:

[
\frac{x + 8}{x} - 6 \leq 0
]

Приводим ( 6 ) к общему знаменателю:

[
\frac{x + 8 - 6x}{x} \leq 0
]

Упрощаем числитель:

[
\frac{-5x + 8}{x} \leq 0
]

или

[
\frac{8 - 5x}{x} \leq 0
]

Теперь мы можем анализировать знак дроби. Для этого необходимо найти нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: ( 8 - 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5} ).Нули знаменателя: ( x = 0 ) (знаменатель не может быть равен нулю).

Рассмотрим интервалы, определенные найденными значениями: ( (-\infty, 0) ), ( (0, \frac{8}{5}) ), ( \left(\frac{8}{5}, +\infty\right) ).

Выберем тестовые значения из каждого интервала и подставим их в дробь ( \frac{8 - 5x}{x} ):

Для интервала ( (-\infty, 0) ) (например, ( x = -1 )):
[
\frac{8 - 5(-1)}{-1} = \frac{8 + 5}{-1} = \frac{13}{-1} < 0
]

Для интервала ( (0, \frac{8}{5}) ) (например, ( x = 1 )):
[
\frac{8 - 5 \cdot 1}{1} = \frac{8 - 5}{1} = 3 > 0
]

Для интервала ( \left(\frac{8}{5}, +\infty\right) ) (например, ( x = 2 )):
[
\frac{8 - 5 \cdot 2}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} < 0
]

Составим итоговый знак знаке исследуемой дроби:

На интервале ( (-\infty, 0) ) – отрицательно.На интервале ( (0, \frac{8}{5}) ) – положительно.На интервале ( \left(\frac{8}{5}, +\infty\right) ) – отрицательно.

Учитывая, что мы хотим, чтобы дробь была меньше или равна нулю, мы берем области, где дробь отрицательна или равна нулю:

( (-\infty, 0) )( \left(\frac{8}{5}, +\infty\right) )

Не забываем исключить ( x = 0 ) из решения, так как оно делает знаменатель равным нулю.

Таким образом, окончательный ответ:

[
(-\infty, 0) \cup \left[\frac{8}{5}, +\infty\right)
]