Пусть ( n ) — количество точек на плоскости. Каждая пара точек определяет одну прямую, и количество таких пар можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

[
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
]

Согласно условию задачи, через каждую пару точек проведена прямая, и в итоге получилось 36 прямых. Это означает, что:

[
\frac{n(n-1)}{2} = 36
]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[
n(n-1) = 72
]

Теперь мы решим это уравнение. Перепишем его в стандартной форме:

[
n^2 - n - 72 = 0
]

Найдем корни данного квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289
]

Корни уравнения можно найти по формуле:

[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2}
]

Поскольку ( \sqrt{289} = 17 ), получим:

[
n = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9
]
и
[
n = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8
]

Поскольку число точек не может быть отрицательным, мы отбрасываем корень ( -8 ).

Таким образом, количество точек, отмеченных на плоскости, равно:

[
\boxed{9}
]