Чтобы сравнить значения, начнем с каждого из них:

( 22^{22} ) - это число, равное 22, возведенное в степень 22.

( (2^2)^{22} = 4^{22} = (2^2)^{22} = 2^{44} ).

( 2222 ) - это просто число 2222.

( 222^2 = 49284 ) - это квадрат числа 222.

( 22 \cdot 22 = 484 ) - это произведение чисел 22.

Теперь сравним значения:

Для начала, заметим, что ( 22^{22} ) значительно больше, чем ( 2^{44} ). Чтобы увидеть это, вспомним, что ( 22 = 2^{4.58} ) (приблизительно), значит, ( 22^{22} = (2^{4.58})^{22} = 2^{100.76} ), что больше ( 2^{44} ).

Сравним ( 22^{22} ) и ( 2222 ). Поскольку ( 22^{22} ) уже очень велико (это число с 34 цифрами), оно больше 2222.

Далее, сравним ( 222^2 ) и ( 22^{22} ). ( 222^2 = 49284 ) - это гораздо меньше, чем ( 22^{22} ).

Также, ( 22 \cdot 22 = 484 ) меньше, чем все вышеперечисленные.

Итак, наибольшее из всех значений:

[
\boxed{22^{22}}
]