Задача, о которой вы говорите, связана с оптимизацией произведения при фиксированной сумме положительных чисел. Формулировка задачи звучит следующим образом: нужно максимизировать произведение ( P = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n ) при условии, что ( x_1 + x_2 + \ldots + x_n = S ), где ( S ) — фиксированная сумма, а все ( x_i > 0 ).

Решение этой задачи можно обосновать с помощью неравенства арифметической и геометрической сред. Оно утверждает, что для любых положительных чисел ( x_1, x_2, \ldots, x_n ) справедливо следующее:

[
\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}
]

Равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа ( x_1, x_2, \ldots, x_n ) равны.

Пусть ( x_1 + x_2 + \ldots + x_n = S ). По неравенству арифметической и геометрической сред мы имеем:

[
\frac{S}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}
]

Или, возводя обе стороны в степень ( n ):

[
\left(\frac{S}{n}\right)^n \geq x_1 \cdot x_2 \cdots x_n
]

Равенство в неравенстве достигается, когда все ( x_i ) равны. То есть, оптимальное решение для максимизации произведения достигается тогда, когда каждое ( x_i = \frac{S}{n} ).

Таким образом, если вы хотите максимизировать произведение ( x_1 \cdot x_2 \cdots x_n ) при фиксированной сумме ( S ), то вам нужно установить все ( x_i ) равными, т.е. ( x_i = \frac{S}{n} ) для всех ( i ). Это приводит к максимальному произведению.

Таким образом, оптимум достигается при равенстве всех слагаемых.