В математическом анализе различают две основных категории сходимости рядов: абсолютную и условную.

Абсолютная сходимость: Ряд (\sum a_n) считается абсолютно сходящимся, если ряд модулей (\sum |a_n|) сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится независимо от порядка слагаемых. Это означает, что перестановка членов ряда не изменяет его сумму.

Условная сходимость: Ряд (\sum a_n) считается условно сходящимся, если он сходится, но ряд модулей (\sum |a_n|) расходится. В этом случае порядок слагаемых важен, и существуют перестановки, которые могут привести к расходимости ряда.

Пример ряда, который сходится условно, а его перестановки расходятся:

Рассмотрим ряд:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
]

Это известный ряд чередующихся знаков, который сходится по критерию Лейбница. Однако ряд модулей:

[
\sum{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n}}{n} \right| = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
]

является гармоническим и расходится.

Таким образом, оригинальный ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}) сходится условно.

Теперь рассмотрим перестановку этого ряда, например, переставив все положительные и отрицательные члены. Если так сделать, то мы можем получить новый ряд, который будет расходиться. Например, если мы соберем все положительные члены вместе, то получится:

[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}
]

и все отрицательные члены:

[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{2k}
]

Объединив их, мы можем получить несуществующую (или бесконечную) сумму, что подтверждает, что перестановки условно сходящихся рядов могут приводить к расходимости.

Таким образом, ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}) является примером условно сходящегося ряда, для которого существуют перестановки, приводящие к расходимости.