Чтобы исследовать, при каких условиях дробь ( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ) является возрастающей функцией на всей прямой, нужно изучить производную этой функции.

Вычислим производную:
Используем правило деления для нахождения производной функции:
[
f'(x) = \frac{(c x + d)(a) - (a x + b)(c)}{(c x + d)^2}
]

Упрощая числитель:
[
f'(x) = \frac{a(c x + d) - c(a x + b)}{(c x + d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(c x + d)^2} = \frac{ad - bc}{(c x + d)^2}
]

Анализ знака производной:
Функция ( f(x) ) будет возрастать на всей прямой, если производная ( f'(x) ) будет неотрицательной:
[
f'(x) \geq 0 \quad \forall x
]

Условие на знак производной зависит от знака числителя и знаменателя:

Знаменатель ( (c x + d)^2 ) всегда положителен, кроме точек, где ( c x + d = 0 ), которые не должны принадлежать области определения (если ( c \neq 0 )).Поэтому основной вопрос сводится к знаку числителя ( ad - bc ).

Условия для возрастающей функции:
В общем:

Если ( ad - bc > 0 ), то ( f'(x) > 0 ) для всех ( x ), и функция ( f(x) ) является возрастающей.Если ( ad - bc = 0 ), то ( f'(x) = 0 ) при условии ( c x + d \neq 0 ), и функция является константой.Если ( ad - bc < 0 ), то ( f'(x) < 0 ) в промежутках, и функция убывает.

Вывод:
Таким образом, дробь ( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ) будет возрастающей функцией на всей прямой, если выполнено условие:
[
ad - bc > 0.
]
Это условие задает ограничения на параметры ( a ), ( b ), ( c ), ( d ). Additionally, необходимо также, чтобы ( c x + d \neq 0 ) для всех ( x ) и, следовательно, чтобы ( c \neq 0 ) и ( d ) не обнулялся при ( x = -\frac{d}{c} ).