Для нахождения корней уравнения $\cos x=x$ на отрезке $[0,1]$ можно использовать несколько методов, такие как:

Графический метод: Построение графиков функций $y=\cos x$ и $y=x$, и анализ их пересечений.

Метод брутфорс $перебор$: Оценка значений функции в узлах и промежутках отрезка $[0,1]$.

Итерационные методы: Например, метод простых итераций, где можно использовать $$x_{n+1}=\cos x_n$$.

Численные методы: Метод половинного деления $делениепополам$, метод Ньютона.

Доказательство существования и единственности корня1. Существование корня:

Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x-x$.

Подсчитаем значения функции на границах:
$f(0)=\cos (0)-0=1-0=1$$f(1)=\cos (1)-1\approx 0.5403-1=-0.4597$

Оба значения показывают, что ( f(0) > 0 ) и ( f(1) < 0 ).

Используя теорему Больцано, мы видим, что так как функция $f(x)$ непрерывна $посколькуэторазностьнепрерывныхфункций$, и она изменяет знак на отрезке $[0,1]$, значит, существует хотя бы один корень $c\in (0,1)$ такой, что $f(c)=0$.

2. Единственность корня:

Для доказательства единственности корня исследуем производную функции $f(x)$:

$$f^{\prime }(x)=-\sin x-1$$

На отрезке $[0,1]$, $-\sin x$ принимает значения от 0 $вточке(x=0)$ до $-\sin 1$ $приблизительно-0.8415$, а следовательно, ( f'(x) < 0 ) на всём отрезке $[0,1]$. Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно убывающей.

Поскольку $f(x)$ непрерывна и монотонно убывает, то она может пересекаться с осью $x$ не более одного раза. Таким образом, корень, найденный в первую часть, является единственным.

Заключение:

В результате, мы заключаем, что уравнение $\cos x=x$ имеет единственный корень на отрезке $[0,1]$.