Чтобы проверить, является ли многочлен $P(x)$ делителем многочлена $Q(x)$, можно воспользоваться алгоритмом деления многочленов $аналогичноделениючисел$. Если в результате деления $Q(x)$ на $P(x)$ остаток равен нулю, то $P(x)$ является делителем $Q(x)$.

Алгоритм проверки делимости многочленов

Запишите многочлены: Запишите многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ в стандартной форме $тоестьпоубываниюстепеней$.

Выполните деление: Выполните деление многочлена $Q(x)$ на многочлен $P(x)$ с использованием алгоритма деления многочленов. В процессе деления:

Делите старший член $Q(x)$ на старший член $P(x)$,Умножайте результат на $P(x)$ и вычитайте из $Q(x)$.Продолжайте процесс, пока степень оставшегося многочлена $остатка$ не станет меньше степени $P(x)$.

Проверьте остаток:

Если остаток равен нулю, то $P(x)$ делит $Q(x)$ нацело.Если остаток не равен нулю, то $P(x)$ не является делителем $Q(x)$.Пример, где делимость неочевидна

Рассмотрим многочлены $P(x)=x^2+2x+1$ и $Q(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.

Шаг 1: Запишите многочлены$P(x)=x^2+2x+1$$Q(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$Шаг 2: Выполните деление

Делим старший член $x^4$ на старший член $x^2$, получаем $x^2$.

Умножаем $x^2$ на $P(x)$:
$$x^2\cdot (x^2+2x+1)=x^4+2x^3+x^2.$$

Вычитаем это из $Q(x)$:
$$Q(x)-(x^4+2x^3+x^2)=(4x^3-2x^3)+(6x^2-x^2)+4x+1=2x^3+5x^2+4x+1.$$

Повторяем процесс, теперь делим $2x^3$ на $x^2$, получаем $2x$.

Вычисляем:
$$2x\cdot (x^2+2x+1)=2x^3+4x^2+2x.$$

Вычитаем:
$$(2x^3+5x^2+4x+1)-(2x^3+4x^2+2x)=(5x^2-4x^2)+(4x-2x)+1=x^2+2x+1.$$

Повторяем процесс один раз еще:

Делим $x^2$ на $x^2$, получаем 1.Умножаем $1\times P(x)=P(x)$.Вычитаем: $(x^2+2x+1)-(x^2+2x+1)=0$.Шаг 3: Проверьте остаток

Остаток равен нулю, значит, $P(x)$ делит $Q(x)$.

Заключение

Таким образом, мы показали, что многочлен $P(x)=x^2+2x+1$ является делителем многочлена $Q(x)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$. Делимость не была сразу очевидна, но с помощью алгоритма деления многочленов мы это подтвердили.