Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

[
y' = y^2
]

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Перепишем его в форме:

[
\frac{dy}{y^2} = dx
]

Теперь интегрируем обе стороны:

[
\int \frac{dy}{y^2} = \int dx
]

Левая часть интеграла дает:

[
-\frac{1}{y} = x + C
]

где (C) — постоянная интегрирования. Перепишем это уравнение в явной форме для (y):

[
\frac{1}{y} = -x - C
]

Следовательно:

[
y = \frac{1}{-x - C}
]

Итак, общий вид решения данного дифференциального уравнения:

[
y(x) = \frac{1}{-x - C}
]

Особенности интегральной кривой

Сингулярности: В зависимости от значения (C), у функции (y(x)) есть разрывы. Если (C \geq 0), то (y(x)) стремится к бесконечности, когда (x \to -C). При этом (y(x)) становится отрицательным при (x > -C).

Поведение при x → -C: При приближении (x) к (-C) функция (y(x)) убегает к (\infty). Это указывает на то, что в точке (x = -C) находится вертикальная асимптота.

Динамика функции: Если (C > 0), то функция (y(x)) будет положительной для (x < -C) и отрицательной - для (x > -C). Если (C < 0), функция принимает положительные значения только при (x < -C), и имеет асимптотическое поведение в точке разрыва.

Время разложения в бесконечность

Время, необходимое для того, чтобы (y(x)) стало бесконечным (или отрицательным), можно оценить следующим образом. Поскольку:

[
y(x) = \frac{1}{-x - C}
]

для достижения (бесконечно большого) значения (y(x)) необходимо, чтобы (-x - C) стремился к нулю. Это происходит, когда:

[
-x - C \to 0 \quad \Rightarrow \quad x \to -C
]

Таким образом, время (T) до разложения в бесконечность, если начать с (y(0) = \frac{1}{C}) и при условии что (C > 0), можно оценить как (T = -C). С точки зрения динамики системы, (y(x)) становится бесконечным в конечный момент времени (при (x = -C)).

Это иллюстрирует, что уравнение имеет особенности и требует осторожного анализа для различных значений константы (C).