Сходимость рядов — важная тема в математическом анализе, и для её изучения используются различные критерии. Рассмотрим три основных критерия сходимости: признак сравнения, признак Даламбера и признак Коши.

1. Признак сравнения

Этот признак применяется к неотрицательным рядaм. Если у нас есть ряд (\sum a_n) и ряд (\sum b_n) (где (a_n, b_n \geq 0)):

Если для всех (n) выполняется неравенство (a_n \leq b_n) и ряд (\sum b_n) сходится, то ряд (\sum a_n) также сходится (первый случай).Если ряд (\sum a_n) расходится и при этом (a_n \geq b_n) для всех (n), то ряд (\sum b_n) также расходится (второй случай).2. Признак Даламбера (признак отношения)

Для ряда (\sum a_n) признак Даламбера основывается на исследовании предела следующего отношения:

[
L = \lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{a_n} \right|
]

Если (L < 1), то ряд сходится.Если (L > 1) или (L = \infty), то ряд расходится.Если (L = 1), признак не даёт информации (неопределённость).3. Признак Коши (признак корня)

Этот признак также исследует последовательность (a_n) через предел:

[
L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
]

Если (L < 1), ряд сходится.Если (L > 1), ряд расходится.Если (L = 1), признак не даёт информации (неопределённость).Пример, где применим один критерий, а другой нет

Рассмотрим ряд:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
]

Этот ряд сходится (это известный сходящийся ряд).

Признак сравнения: Можно взять (b_n = \frac{1}{n^2}) (известно, что ряд ( \sum b_n) сходится), и поэтому по признаку сравнения, ряд (\sum a_n) сойдется. Здесь признак сравнения работает.

Признак Даламбера: Проверим (L) для (\sum a_n):

[
L = \lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{an} \right| = \lim{n \to \infty} \frac{1/(n+1)^2}{1/n^2} = \lim{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{(n+1)^2} \right) = \lim{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} \right) = 1
]

Это неопределенность. Таким образом, признак Даламбера не даёт информации о сходимости ряда.

Заключение

Таким образом, мы видим, что для заданного ряда можно применять разные критерии, и не всегда они будут давать однозначный ответ. Признак сравнения может дать решение, тогда как признак Даламбера может оказаться неопределенным.