Рассмотрим систему уравнений:

( x^2 + y^2 = 25 )( xy = 12 )

Первое уравнение описывает окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Второе уравнение задаёт гиперболу, которая в нашем случае соответствует произведению координат ( x ) и ( y ).

Для нахождения решений системы уравнений мы можем выразить ( y ) через ( x ) из второго уравнения:

[
y = \frac{12}{x}
]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[
x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25
]

Упростим его:

[
x^2 + \frac{144}{x^2} = 25
]

Умножим всё на ( x^2 ) (при условии, что ( x \neq 0 )):

[
x^4 - 25x^2 + 144 = 0
]

Теперь сделаем замену ( z = x^2 ) (тогда уравнение принимает вид):

[
z^2 - 25z + 144 = 0
]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49
]

Теперь найдем корни уравнения:

[
z_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16,
]
[
z_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9
]

Так, получаем ( z_1 = 16 ) и ( z_2 = 9 ). Поскольку ( z = x^2 ), то:

( x^2 = 16 ) ⇒ ( x = 4 ) или ( x = -4 )( x^2 = 9 ) ⇒ ( x = 3 ) или ( x = -3 )

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

Если ( x = 4 ) ⇒ ( y = \frac{12}{4} = 3 ) ⇒ пара ( (4, 3) )Если ( x = -4 ) ⇒ ( y = \frac{12}{-4} = -3 ) ⇒ пара ( (-4, -3) )Если ( x = 3 ) ⇒ ( y = \frac{12}{3} = 4 ) ⇒ пара ( (3, 4) )Если ( x = -3 ) ⇒ ( y = \frac{12}{-3} = -4 ) ⇒ пара ( (-3, -4) )

Итак, все пары решений:

( (4, 3) )( (-4, -3) )( (3, 4) )( (-3, -4) )Обсуждение симметрии:

Мы видим, что решения симметричны относительно осей координат. Каждая пара из первых две может быть получена из аналогичной пары, просто поменяв знак обеих координат. Таким образом, наши решения отображают симметрию относительно начала координат.