Чтобы найти все целые решения уравнения ( x^2 - y^2 = 15 ), мы можем использовать метод разложения на множители. Уравнение ( x^2 - y^2 = 15 ) можно записать в виде:

[
(x - y)(x + y) = 15
]

Теперь давайте рассмотрим все возможные пары множителей ( (d_1, d_2) ) такие, что ( d_1 \cdot d_2 = 15 ). Заметим, что ( x - y = d_1 ) и ( x + y = d_2 ). Учитывая, что ( x ) и ( y ) целые числа, обе переменные ( x ) и ( y ) также будут целыми, если ( d_1 ) и ( d_2 ) имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Число 15 имеет следующие пары целых множителей:

( (1, 15) )( (15, 1) )( (3, 5) )( (5, 3) )( (-1, -15) )( (-15, -1) )( (-3, -5) )( (-5, -3) )

Теперь для каждой пары ( (d_1, d_2) ) мы можем решить систему уравнений:

[
\begin{cases}
x - y = d_1 \
x + y = d_2
\end{cases}
]

Сложив эти два уравнения, мы найдем ( x ):

[
2x = d_1 + d_2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{d_1 + d_2}{2}
]

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти ( y ):

[
2y = d_2 - d_1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{d_2 - d_1}{2}
]

Теперь рассмотрим каждую пару множителей.

Для ( (1, 15) ):
[
x = \frac{1 + 15}{2} = 8, \quad y = \frac{15 - 1}{2} = 7
]

Для ( (15, 1) ):
[
x = \frac{15 + 1}{2} = 8, \quad y = \frac{1 - 15}{2} = -7
]

Для ( (3, 5) ):
[
x = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad y = \frac{5 - 3}{2} = 1
]

Для ( (5, 3) ):
[
x = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad y = \frac{3 - 5}{2} = -1
]

Для ( (-1, -15) ):
[
x = \frac{-1 - 15}{2} = -8, \quad y = \frac{-15 + 1}{2} = -7
]

Для ( (-15, -1) ):
[
x = \frac{-15 - 1}{2} = -8, \quad y = \frac{-1 + 15}{2} = 7
]

Для ( (-3, -5) ):
[
x = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad y = \frac{-5 + 3}{2} = -1
]

Для ( (-5, -3) ):
[
x = \frac{-5 - 3}{2} = -4, \quad y = \frac{-3 + 5}{2} = 1
]

Теперь мы можем собрать все целые решения:

( (8, 7) )( (8, -7) )( (4, 1) )( (4, -1) )( (-8, -7) )( (-8, 7) )( (-4, -1) )( (-4, 1) )

Таким образом, целые решения уравнения ( x^2 - y^2 = 15 ):

[
(8, 7), (8, -7), (4, 1), (4, -1), (-8, -7), (-8, 7), (-4, -1), (-4, 1)
]