Определим поведение функции ( f(x) = \frac{\ln(x)}{x - 1} ) при ( x \to 1 ).

Сначала подставим ( x = 1 ) в функцию:

[
f(1) = \frac{\ln(1)}{1 - 1} = \frac{0}{0}
]

Мы получаем неопределенность вида (\frac{0}{0}). Чтобы решить эту проблему, можем воспользоваться правилом Лоопиталя, которое говорит, что для предела (\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}) или (\frac{\infty}{\infty}) можно вычислить предел следующего вида:

[
\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
]

где ( f'(x) ) и ( g'(x) ) — производные функций в числителе и знаменателе, соответственно.

В нашем случае:

Теперь найдем производные этих функций.

Производная ( f(x) = \ln(x) ):
[
f'(x) = \frac{1}{x}
]

Производная ( g(x) = x - 1 ):
[
g'(x) = 1
]

Теперь применим правило Лопиталя:

[
\lim{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim{x \to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1
]

Таким образом, мы нашли, что:

[
\lim_{x \to 1} f(x) = 1
]

Следовательно, предел функции ( f(x) ) при ( x \to 1 ) равен 1.