Неравенство арифметического среднего (AM) и геометрического среднего (GM) гласит, что для любых двух положительных чисел ( a ) и ( b ) справедливо:

[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
]

Доказательство:

Начнем с преобразования неравенства. Умножим обе стороны на ( 2 ) (поскольку ( 2 > 0 ), знак неравенства не меняется):

[
a + b \geq 2\sqrt{ab}
]

Переносим все члены в одну сторону:

[
a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0
]

Теперь воспользуемся факторизацией. Добавим и вычтем ( ab ):

[
a + b - 2\sqrt{ab} = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2
]

Чем мы доказали, что:

[
\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geq 0
]

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, значит это неравенство выполняется для любых положительных ( a ) и ( b ).

Таким образом, мы получили неравенство:

[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
]

Случай равенства:

Равенство в неравенстве ( AM \geq GM ) достигается только в случае, когда ( a = b ). Это означает, что два числа равны, и в этом случае арифметическое и геометрическое средние совпадают:

[
\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab}
]

Таким образом, равенство выполняется, если и только если ( a = b ).