Чтобы понять, в чем заключается ошибка в утверждении, что (\sin^2(x) = x^2) для малых (x), давайте рассмотрим, как ведут себя обе функции при малых значениях (x).

Для малых (x) мы можем воспользоваться разложением функции синуса в ряд Тейлора:

[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
]

Теперь возьмем квадрат синуса:

[
\sin^2(x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)
]

Таким образом, для малых (x):

[
\sin^2(x) \approx x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)
]

Теперь сравним это с (x^2):

[
\sin^2(x) - x^2 = -\frac{x^4}{3} + O(x^6)
]

Мы видим, что при малых (x):

[
\sin^2(x) \approx x^2 - \frac{x^4}{3}
]

Это означает, что (\sin^2(x)) не равняется (x^2), а лишь аппроксимируется им при (x \to 0). Главная ошибка в первоначальном утверждении заключается в том, что оно не учитывает дополнительные члены в разложении, из-за которых (\sin^2(x)) отличается от (x^2) даже при малых (x).

Следовательно, (\sin^2(x) = x^2) только в пределе, когда (x) стремится к нулю, но для любых малых, но конечных (x) это равенство не выполняется. Это и является источником ошибки в первоначальном доказательстве.