Доказательство того, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, можно провести несколькими способами.

Способ 1: Геометрическое доказательство через подобие треугольниковОбозначим прямоугольный треугольник ( ABC ), в котором угол ( C ) — прямой. Пусть медиана ( CD ) проведена к гипотенузе ( AB ) и делит её на отрезки ( AD ) и ( DB ), такие что ( AD = DB = \frac{AB}{2} ).Поскольку ( D ) — середина гипотенузы, то отрезок ( CD ) является медианой.Рассмотрим треугольники ( ACD ) и ( BCD ). Эти треугольники имеют равные стороны ( AD = DB ), общую сторону ( CD ), а углы ( ACD ) и ( BCD ) равны, так как они оба равны углу ( C ) (это прямой угол).Следовательно, треугольники ( ACD ) и ( BCD ) подобны, и их отношения сторон равны.Таким образом, ( CD ) (медиана) будет равна половине гипотенузы ( AB ) (то есть ( CD = \frac{1}{2}AB )).Способ 2: Использование координатПоместим прямоугольный треугольник ( ABC ) в систему координат так, чтобы точка ( A(0, 0) ), ( B(c, 0) ), ( C(0, h) ).Тогда гипотенуза ( AB ) имеет длину ( AB = \sqrt{c^2 + h^2} ).Координаты середины гипотенузы ( D ) будут равны ( D\left(\frac{c}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, 0\right) ).Теперь найдем длину медианы ( CD ):
[
CD = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - 0\right)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{c^2}{4} + h^2}.
]Из теоремы Пифагора найдем длину гипотенузы ( AB ): ( AB = \sqrt{c^2 + h^2} ), и теперь нам нужно показать, что
[
CD = \frac{1}{2}AB.
]Сравнив значения и упростив, мы получим, что ( CD ) действительно равно ( \frac{1}{2}AB ).Способ 3: Алгебраическое доказательствоРассмотрим прямоугольный треугольник ( ABC ), в котором ( AC = a ), ( BC = b ), и гипотенуза ( AB = c = \sqrt{a^2 + b^2} ).Вычислим длину медианы ( m ), проведенной к гипотенузе. Формула для медианы к стороне ( AB ) в треугольнике с длинами сторон ( a ), ( b ) и ( c ) такова:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.
]Подставляя значение ( c^2 = a^2 + b^2 ) в формулу медианы, мы получаем:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2}c,
]
что и доказывает, что медиана равна половине гипотенузы.

Эти три способа доказательства показывают, что медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике действительно равна половине гипотенузы.