Ортогонализация базиса в ( \mathbb{R}^3 ) с использованием метода Грама-Шмидта — это процесс преобразования линейно независимого набора векторов в ортогональный набор. Рассмотрим, что у нас есть вектор ( \mathbf{v_1} ), и мы хотим ортогонализовать базис, содержащий этот вектор.

Инициализация:
Начнем с вектора ( \mathbf{v_1} ). Допустим, у нас есть два других вектора ( \mathbf{v_2} ) и ( \mathbf{v_3} ) из базиса. Мы хотим получить ортогональный базис ( {\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \mathbf{u_3}} ).

Первый вектор ортогонального базиса:
Первым вектором ( \mathbf{u_1} ) будет просто ( \mathbf{v_1} ):
[
\mathbf{u_1} = \mathbf{v_1}
]

Второй вектор ортогонального базиса:
Для получения второго вектора ( \mathbf{u_2} ) мы вычтем из ( \mathbf{v_2} ) проекцию на ( \mathbf{u_1} ):
[
\mathbf{u_2} = \mathbf{v2} - \text{proj}{\mathbf{u_1}} \mathbf{v2}
]
где проекция вычисляется по формуле:
[
\text{proj}{\mathbf{u_1}} \mathbf{v_2} = \frac{\langle \mathbf{v_2}, \mathbf{u_1} \rangle}{\langle \mathbf{u_1}, \mathbf{u_1} \rangle} \mathbf{u_1}
]

Третий вектор ортогонального базиса:
Аналогично, получаем третий вектор ( \mathbf{u_3} ), вычитая проекции на оба предыдущих вектора:
[
\mathbf{u_3} = \mathbf{v3} - \text{proj}{\mathbf{u_1}} \mathbf{v3} - \text{proj}{\mathbf{u_2}} \mathbf{v3}
]
где проекции вычисляются по тем же принципам:
[
\text{proj}{\mathbf{u_1}} \mathbf{v_3} = \frac{\langle \mathbf{v_3}, \mathbf{u_1} \rangle}{\langle \mathbf{u_1}, \mathbf{u_1} \rangle} \mathbf{u1}
]
[
\text{proj}{\mathbf{u_2}} \mathbf{v_3} = \frac{\langle \mathbf{v_3}, \mathbf{u_2} \rangle}{\langle \mathbf{u_2}, \mathbf{u_2} \rangle} \mathbf{u_2}
]

Результат:
Векторы ( \mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \mathbf{u_3} ) составляют ортогональный базис. Если требуется, их можно нормировать, чтобы получить ортонормированный базис, делая:
[
\mathbf{e_1} = \frac{\mathbf{u_1}}{|\mathbf{u_1}|}, \quad \mathbf{e_2} = \frac{\mathbf{u_2}}{|\mathbf{u_2}|}, \quad \mathbf{e_3} = \frac{\mathbf{u_3}}{|\mathbf{u_3}|}
]

Таким образом, метод Грама-Шмидта позволяет получить ортогональный (или ортонормированный) базис из любого линейно независимого набора векторов в ( \mathbb{R}^3 ).