В статистике различают два типа оценок дисперсии: смещенные (или "нескорректированные") и несмещенные (или "скорректированные"). Различие между ними заключается в том, как они используют данные выборки для оценки дисперсии генеральной совокупности.

1. Смещенная оценка дисперсии

Смещенная оценка дисперсии, обозначаемая как ( \sigma^2 ), вычисляется по формуле:

[
\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
]

где:

( n ) - размер выборки,( x_i ) - отдельные значения выборки,( \bar{x} ) - среднее арифметическое выборки.

Смещенная оценка учитывает все данные, и делит на ( n ), что может привести к недооценке истинной дисперсии в случае выборки.

2. Несмещенная оценка дисперсии

Несмещенная оценка дисперсии, обозначаемая как ( s^2 ), вычисляется по формуле:

[
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
]

Эта оценка делит на ( n-1 ) вместо ( n ). Использование ( n-1 ) вместо ( n ) называется "корректировкой Бесселя" и обусловлено тем, что мы оцениваем параметр (дисперсию) на основе выборки. Это позволяет избежать систематической недооценки дисперсии.

Пример вычисления

Предположим, у нас есть выборка роста из 5 человек:

[ 170, 175, 180, 165, 160 ]

Рассчитаем среднее (( \bar{x} )):
[
\bar{x} = \frac{170 + 175 + 180 + 165 + 160}{5} = 170
]

Рассчитаем смещенную дисперсию (( \sigma^2 )):
[
\sigma^2 = \frac{1}{5} \left((170 - 170)^2 + (175 - 170)^2 + (180 - 170)^2 + (165 - 170)^2 + (160 - 170)^2\right)
]
[
= \frac{1}{5} \left(0 + 25 + 100 + 25 + 100\right) = \frac{225}{5} = 45
]

Рассчитаем несмещенную дисперсию (( s^2 )):
[
s^2 = \frac{1}{5-1} \left((170 - 170)^2 + (175 - 170)^2 + (180 - 170)^2 + (165 - 170)^2 + (160 - 170)^2\right)
]
[
= \frac{1}{4} \left(0 + 25 + 100 + 25 + 100\right) = \frac{225}{4} = 56.25
]

Вывод

Таким образом, для данной выборки смещенная оценка дисперсии составила ( 45 ), а несмещенная — ( 56.25 ). Несмещенная оценка обеспечивает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, особенно для малых выборок.