Оценка доверительного интервала для среднего значения в нормальном распределении с неизвестной дисперсией — это важная задача в статистике. Вот основные шаги для оценки такого интервала и объяснение использования t-распределения.

Шаги для оценки доверительного интервала:

Собрать данные: Сначала требуется собрать выборку из нормального распределения. Пусть ( X_1, X_2, \ldots, X_n ) — это элементы вашей выборки.

Вычислить выборочное среднее:
[
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
]
Здесь ( \bar{X} ) — выборочное среднее.

Вычислить выборочную дисперсию:
[
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2
]
Выборочная дисперсия ( S^2 ) используется, чтобы оценить неизвестную дисперсию генеральной совокупности.

Определить уровень значимости: Выберите уровень значимости ( \alpha ) (например, 0.05 для 95% доверительного интервала).

Найти критическое значение: Для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы ( n - 1 ) найдите критическое значение t из таблицы t-распределения. Это значение соответствует ( \frac{\alpha}{2} ) (двусторонний интервал).

Вычислить доверительный интервал:
Доверительный интервал для среднего значения будет задан следующим образом:
[
\left( \bar{X} - t{\frac{\alpha}{2}, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}, \, \bar{X} + t{\frac{\alpha}{2}, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right)
]
Здесь ( S = \sqrt{S^2} ) — это выборочное стандартное отклонение.

Почему используется t-распределение:

Неизвестная дисперсия: Когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, и мы используем выборочную дисперсию ( S^2 ) для оценки, это вводит дополнительную неопределенность. В результате такая оценка имеет большую вариабельность, чем оценка с известной дисперсией.

Степени свободы: t-распределение менее "сжато" по сравнению с обычным нормальным распределением, что позволяет учитывать эту дополнительную неопределенность. Оно имеет более "широкие" хвосты, что делает интервалы более консервативными и позволяет учитывать колебания выборочных данных.

Схожесть с нормальным распределением: При увеличении размера выборки ( n ) t-распределение сходится к нормальному распределению, поэтому для больших выборок оно становится практически таким же, как нормальное. Это свойство делает t-распределение универсальным инструментом для построения доверительных интервалов, особенно в случаях малых выборок.

Таким образом, использование t-распределения позволяет более точно оценить доверительные интервалы для среднего значения при наличии ограниченной информации о генеральной совокупности.