Чтобы найти вероятность объединения событий ( A ) и ( B ), можно использовать формулу включения-исключения:

[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]

Где:

( P(A \cup B) ) — вероятность того, что произойдет либо событие ( A ), либо событие ( B ), либо оба события.( P(A) ) — вероятность события ( A ).( P(B) ) — вероятность события ( B ).( P(A \cap B) ) — вероятность того, что произойдут одновременно события ( A ) и ( B ).

Подставляем известные значения:

[
P(A) = 0.3, \quad P(B) = 0.4, \quad P(A \cap B) = 0.15
]

Теперь подставим эти значения в формулу:

[
P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.15
]

[
P(A \cup B) = 0.7 - 0.15 = 0.55
]

Таким образом, ( P(A \cup B) = 0.55 ).

Обсуждение формулы включения-исключения

Формула включения-исключения позволяет правильно вычислять вероятность объединения несовместных или зависимых событий. Она применяется для избежания двойного счета вероятностей для тех случаев, когда события ( A ) и ( B ) могут пересекаться. Если бы событий не было пересечений, то ( P(A \cap B) ) было бы равно нулю, и формула упростилась бы до:

[
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
]

Однако, если события пересекаются (как в нашем случае, где ( P(A \cap B) = 0.15 )), важно вычесть вероятность их пересечения, чтобы скорректировать итоговое значение вероятности.

Таким образом, формула включения-исключения представляет собой мощный инструмент в теории вероятностей, который позволяет корректно обрабатывать вероятности сложных событий.