Давайте рассмотрим два независимых случайных величины ( X_1 ) и ( X_2 ), которые имеют экспоненциальные распределения с параметрами ( \lambda_1 ) и ( \lambda_2 ) соответственно. Это означает, что:

( X_1 \sim \text{Exp}(\lambda1) ) с функцией плотности вероятности ( f{X_1}(x) = \lambda_1 e^{-\lambda_1 x} ) для ( x \geq 0 )( X_2 \sim \text{Exp}(\lambda2) ) с функцией плотности вероятности ( f{X_2}(x) = \lambda_2 e^{-\lambda_2 x} ) для ( x \geq 0 )Нахождение распределения минимума

Минимум двух независимых величин ( Z = \min(X_1, X_2) ) также имеет экспоненциальное распределение. Для того чтобы найти его параметр, воспользуемся следующим фактом:

Распределение минимума двух независимых экспоненциальных случайных величин с параметрами ( \lambda_1 ) и ( \lambda_2 ) будет иметь параметр:

[
\lambda_Z = \lambda_1 + \lambda_2
]

Таким образом, ( Z \sim \text{Exp}(\lambda_Z) ).

Таким образом, функция плотности вероятности для минимума будет:

[
f_Z(z) = (\lambda_1 + \lambda_2) e^{-(\lambda_1 + \lambda_2) z}, \quad z \geq 0
]

Вероятность, что первый меньше второго

Чтобы найти вероятность того, что ( X_1 < X_2 ), мы рассматриваем следующий интеграл:

[
P(X_1 < X_2) = \int_0^\infty P(X_2 > x1) f{X_1}(x_1) \, dx_1
]

Где ( P(X_2 > x_1) ) можно выразить как:

[
P(X_2 > x_1) = e^{-\lambda_2 x_1}
]

Следовательно, мы имеем:

[
P(X_1 < X_2) = \int_0^\infty e^{-\lambda_2 x_1} \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1} \, dx_1
]

Объединив экспоненты, получаем:

[
P(X_1 < X_2) = \int_0^\infty \lambda_1 e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)x_1} \, dx_1
]

Интеграл можно вычислить:

[
= \lambda_1 \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}
]

В итоге, вероятность ( P(X_1 < X_2) ) равна:

[
P(X_1 < X_2) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}
]

Таким образом, мы нашли распределение минимума и вероятность того, что первая величина меньше второй:

Минимум ( Z = \min(X_1, X_2) \sim \text{Exp}(\lambda_1 + \lambda_2) )( P(X_1 < X_2) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} )