Задача о бросании монеты 10 раз и получении ровно 4 орлов может быть решена с помощью биномиального распределения.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение описывает количество успешных исходов в фиксированном числе независимых испытаний. В нашем случае успешным исходом является "орел".

Параметры биномиального распределения:

( n ): общее количество испытаний (в нашем случае 10 бросков),( k ): количество успешных исходов (в нашем случае 4 орла),( p ): вероятность успешного исхода (для честной монеты ( p = 0.5 )).

Формула для вычисления вероятности ( P(X=k) ) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

[
P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]

Где:

( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]

Применение к задаче

В нашей задаче:

( n = 10 ),( k = 4 ),( p = 0.5 ).Вычисляем биномиальный коэффициент ( \binom{10}{4} ):

[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]

Рассчитываем вероятность ( P(X=4) ):

[
P(X=4) = \binom{10}{4} (0.5)^4 (0.5)^{10-4}
]
[
P(X=4) = 210 \times (0.5)^{4} \times (0.5)^{6} = 210 \times (0.5)^{10}
]
[
P(X=4) = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}
]

Вывод

Итак, число исходов, при которых выпадает ровно 4 орла при 10 бросках монеты, можно найти, рассчитав биномиальный коэффициент ( \binom{10}{4} = 210 ). Всевозможные последовательности, в которых 4 из 10 бросков дали орла, равны 210.