Чтобы найти вероятность того, что сумма очков, выпавших при трех подбрасываниях игральной кости, будет равна 10, нужно рассмотреть все возможные комбинации значений, которые могут дать в сумме 10.

Общее количество исходов

При трех подбрасываниях игральной кости (с 6 гранями) общее количество возможных исходов составляет:

[
6^3 = 216
]

Подходящие комбинации

Теперь нужно найти все сочетания значений, которые в сумме дают 10. Обозначим три броска как ( x_1, x_2, x_3 ), где каждое ( x_i ) (для ( i=1,2,3 )) может принимать значения от 1 до 6. Тогда мы ищем такие целые числа ( x_1, x_2, x_3 ), чтобы:

[
x_1 + x_2 + x_3 = 10
]

Решение уравнения

Для более простого подсчета удобнее использовать метод "подсчета с ограничениями". Нам нужно, чтобы:

[
1 \leq x_1, x_2, x_3 \leq 6
]

Сначала подставим новые переменные, введя ( y_i = x_i - 1 ) (где ( y_i ) могут принимать значения от 0 до 5). Тогда уравнение преобразуется в:

[
(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) = 10
]

или

[
y_1 + y_2 + y_3 = 7
]

где ( 0 \leq y_1, y_2, y_3 \leq 5 ).

Теперь мы ищем количество неотрицательных целых решений этого уравнения при условии, что каждое ( y_i ) не превышает 5.

Использование принципа включения-исключенияОбщее число решений для уравнения ( y_1 + y_2 + y_3 = 7 ) без ограничений (согласно формуле сочетаний) равно:

[
C(7 + 3 - 1, 3 - 1) = C(9, 2) = 36
]

Исключаем некорректные случаи. Нам нужно вычесть случаи, когда хотя бы одно из ( y_i > 5 ). Предположим, что ( y_1 > 5 ). Тогда мы можем сделать замену ( y_1' = y_1 - 6 ), и тогда получаем:

[
y_1' + y_2 + y_3 = 1
]

Общее количество решений этого уравнения:

[
C(1 + 3 - 1, 3 - 1) = C(3, 2) = 3
]

Т.к. есть 3 варианта (для ( y_1 ), ( y_2 ) и ( y_3 )), мы вычитаем количество этих случаев:

[
36 - 3 \times 3 = 36 - 9 = 27
]

Таким образом, существует 27 способов получить на трех игральных костях сумму, равную 10.

Вероятность

Теперь можно найти вероятность:

[
P(\text{сумма} = 10) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}
]

Ответ

Вероятность того, что сумма очков при трех подбрасываниях игральной кости равна 10, равна ( \frac{1}{8} ).