Теорема Вильсона утверждает, что натуральное число ( p > 1 ) является простым, если и только если

[
(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}.
]

Доказательство теоремы Вильсона

Для доказательства теоремы Вильсона необходимо сначала рассмотреть два направления:

Если ( p ) является простым, то ( (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} ).Если ( (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} ), то ( p ) является простым.1. Простой случай

Пусть ( p ) — простое число. Рассмотрим факториал ( (p-1)! ), который вычисляется как произведение всех целых чисел от 1 до ( p-1 ):

[
(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1).
]

Так как ( p ) простое, все числа от 1 до ( p-1 ) являются взаимно простыми с ( p ). В частности, для любого ( k ) в этом диапазоне существует обратное по модулю число ( k^{-1} ) по модулю ( p ). Таким образом, мы можем организовать произведение ( (p-1)! ) в пары ( (k, k^{-1}) ).

Пара ( (k, k^{-1}) ) приводит к:

[
k \cdot k^{-1} \equiv 1 \pmod{p}.
]

Однако, для ( k = \frac{p-1}{2} ), мы получаем, что ( k ) и ( k^{-1} ) совпадают при ( p \equiv 3 \pmod{4} ) или не пара для всех других ( k ). Это позволяет нам получать:

[
(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}.
]

Фактически, мы можем разложить факториал на произведение, где в итоге одно слагаемое из ( (p-1) ) является парным, создавая модульный вывод.

2. Обратное направление

Теперь рассмотрим обратное утверждение: пусть ( (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} ). Для ложности ( p ) допустим, что ( p ) составное. Это означает, что в произведении ( (p-1)! ) будет хотя бы один множитель, который делит ( p ) (то есть меньше ( p ) и не равен 1). Тогда этот множитель и его кратные, которые делят ( (p-1)! ), будут давать результат равный 0 по модулю ( p ), что противоречит ( (p-1)! \equiv -1 ).

Таким образом, если ( (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} ), то ( p ) должно быть простым.

Теоретико-числовая природа

Теорема Вильсона является значимым результатом в теории чисел, так как связывает понятие простоты с факториалом — арифметической функцией, которая принимает целые числа и возвращает произведение всех меньших или равных значений. Она также использует свойства взаимной простоты и разложения под остальными множествами.

Кроме того, теорема Вильсона иллюстрирует важные аспекты модульной арифметики и делимости, что делает ее предметом изучения для многих более сложных теорем и концепций в теории чисел, таких как разложение чисел, свойства группы, и современный подход к вопросам простой факторизации.