Давайте рассмотрим простой пример, в котором неверно установлена база индукции. Рассмотрим утверждение, которое мы хотим доказать с помощью математической индукции:

Утверждение: Для любого натурального числа ( n ) верно, что ( P(n) ): ( 2^n > n ).

Проверка базы индукции:

Мы начинаем с ( n = 1 ):
( P(1): 2^1 > 1 ) (это верно, так как ( 2 > 1 )).

Теперь проверим, что база индукции верна для ( n = 2 ):
( P(2): 2^2 > 2 ) (это тоже верно, так как ( 4 > 2 )).

Но постараемся неправильно установить базу индукции:

Неверная база:

Например, будем проверять для ( n = 0 ):
( P(0): 2^0 > 0 ) (это верно, так как ( 1 > 0 )).Для ( n = 1 ):
( P(1): 2^1 > 1 ) тоже верно.Перейдем к индукционному шагу, чтобы доказать, что если ( P(k) ) верно, то ( P(k+1) ) тоже верно для каждого ( k \geq 0 ).

Индукционный шаг:

Предположим, что ( P(k) ) верно (т.е. ( 2^k > k )).Нам нужно показать, что ( P(k+1) ): ( 2^{k+1} > k + 1 ).У нас есть ( 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k ).

Применяя индукционное предположение:

( 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k ).Для ( 2 \cdot k > k + 1 ), нам нужно, чтобы ( k > 1 ) было верно.

Таким образом, для ( k=0 ) и ( k=1 ) шаг может быть неверен, что показывает, что начальные значения (база) не обеспечивают корректность индуктивного шага.

Нарушение доказательства:

Если вводится неверная база, индукционное доказательство становится недействительным, так как оно не охватывает все случаи. Следовательно, многие значения ( n ) могут не подчиняться исходному утверждению.

Исправление:

Для корректного использования метода математической индукции, нужно убедиться, что индукция начинается с правильной базы. Значит, мы должны убедиться, что утверждение действительно верно для первого значимого значения ( n ).

В данном случае, для корректности индукции, начнём с ( n = 1 ) (или с другого значения, если это требуется).

Исправленный подход:

База индукции: ( n = 2 ): ( P(2): 2^2 > 2 ) верно.Индукционный шаг:
Предположим, что ( P(k) ) верно для некоторого ( k \geq 2 ).Доказать ( P(k+1) ):
[
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(k+1) > k + 1, \text{ что } (k \geq 2).
]

Таким образом, мы обеспечиваем проверку верности индуктивного шага после того, как база была установлена корректно.