Периодичность последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент равен сумме двух предыдущих по модулю ( m ), является важным аспектом при изучении таких последовательностей. Давайте рассмотрим этот вопрос подробнее.

Описание последовательности

Рассмотрим последовательность ( a_n ), где

[
an = (a{n-1} + a_{n-2}) \mod m
]

с начальными значениями ( a_0 ) и ( a_1 ).

Периодичность

Периодическая природа: Поскольку мы работаем с конечным числом возможных значений (от ( 0 ) до ( m-1 )), такая последовательность обязательно будет периодической. Это объясняется тем, что при каждом шаге мы вычисляем элементы по модулю ( m ), что ограничивает возможные состояния.

Длина периода: Обычно длина периода будет зависеть от начальных значений ( a_0 ) и ( a_1 ) и может различаться в зависимости от них. Для фиксированных ( a_0 ) и ( a_1 ), последовательность будет повторяться после определённого количества шагов.

Методы определения периода

Существуют несколько подходов, которые можно использовать для определения периода:

Прямое вычисление: Можно просто вычислять элементы последовательности до тех пор, пока не встретится уже известная пара ( (a{k-2}, a{k-1}) ). Данное значение характеризует начало повторения и, следовательно, период.

Хранение состояний: Создание множества или карты для хранения уже увиденных пар ( (a{n-2}, a{n-1}) ). При каждой итерации можно проверять, уже встречалась ли эта пара. Это поможет быстро определить начало повторения и избежать долгих повторений.

Использование матриц: Поскольку каждая новая пара зависима от двух предыдущих элементов, можно использовать методы линейной алгебры, например, представление последовательности в виде матриц трансформаций.

Пример

Рассмотрим последовательность с ( m = 5 ), ( a_0 = 0 ) и ( a_1 = 1 ):

( a_2 = (0 + 1) \mod 5 = 1 )( a_3 = (1 + 1) \mod 5 = 2 )( a_4 = (1 + 2) \mod 5 = 3 )( a_5 = (2 + 3) \mod 5 = 0 )( a_6 = (3 + 0) \mod 5 = 3 )( a_7 = (0 + 3) \mod 5 = 3 )...

В результате, последовательность начнёт повторяться, и можно определить период.

Заключение

Таким образом, периодичность последовательности, заданной условиями задачи, действительно ценна и может быть определена несколькими методами. Каждое из подходов имеет свои плюсы и минусы, и выбор метода может зависеть от конкретной задачи и ограничений по времени выполнения.