Одним из классических примеров непрерывной функции, не имеющей первообразной в элементарной форме, является функция ( f(x) = e^{-x^2} ). Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, однако ее интеграл не может быть выражен через элементарные функции.

Пример функции

Рассмотрим функцию:
[
f(x) = e^{-x^2}.
]

Интеграл функции

Интересно заметить, что интеграл этой функции от (-\infty) до (\infty) даёт конечное значение и равен площади под графиком функции. Конкретно:
[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.
]
Однако, первообразная ( F(x) ) для функции ( f(x) ) не может быть выражена через элементарные функции. То есть, мы не можем найти такую функцию ( F(x) ), что ( F'(x) = e^{-x^2} ) с использованием обычных алгебраических, тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Критерии интегрируемости

Для того чтобы установить, интегрируема ли функция ( f(x) ), применяются несколько заметных критериев:

Критерий Лебега: Если ( f(x) ) измерима (всегда верно для непрерывных функций) и интеграл по области определения конечен:
[
\int |f(x)| \, dx < \infty,
]
то функция ( f ) интегрируема в смысле Лебега.

Критерий Римана: Для функции ( f ) на заданном отрезке ([a, b]) функция интегрируема в смысле Римана, если она ограничена и непрерывна почти повсюду (т.е. на некотором множестве, имеющем Lebesgue-меру ноль).

Общие свойства интегрируемых функций: Если функция ( f(x) ) непрерывна на ограниченном отрезке, то она интегрируема в смысле Римана на этом отрезке. Однако если ( f ) не имеет первообразной в элементарной форме, это не влияет на ее интегрируемость, так как интеграл может быть вычислен с помощью численных методов или специальных функций (например, через функцию ошибок ( \text{erf}(x) )).

Заключение

Таким образом, ( f(x) = e^{-x^2} ) является примером непрерывной функции, не имеющей первообразной в элементарной форме, но обладающей конечным интегралом на всей числовой прямой. Это подчеркивает важность различия между интегрируемостью и наличием первообразной, а также показывает, что интеграция может быть успешно выполнена, используя методы, выходящие за рамки элементарных функций.