Задача аппроксимации функции на отрезке с использованием полинома наилучшего приближения в смысле минимизации максимальной ошибки обычно рассматривается в контексте теории приближений. Подход Ремеза к этой задаче применяется для нахождения оптимального полинома, который минимизирует максимальную ошибку между заданной функцией и полиномом на определенном интервале.

Основные моменты подхода Ремеза:

Определение задачи: Пусть дана непрерывная функция ( f(x) ) на отрезке ( [a, b] ), и мы хотим найти полином ( Pn(x) ) степени ( n ), который минимизирует максимальную абсолютную ошибку:
[
E(P) = \max{x \in [a,b]} |f(x) - P_n(x)|.
]

Существование выходных точек: Полином наилучшего приближения в смысле Ремеза должен иметь свои точки экстремума (так называемые точки Ремеза) в тех точках ( x_i ), где максимальная ошибка ( E(P) ) достигается. Количество таких точек соответствует степени полинома ( n ).

Итеративный процесс: Метод Ремеза состоит из итеративного процесса, который включает следующие шаги:

Инициализация: Выбор начального полинома ( P_n(x) ).Определение точек: Определение точек ( x_0, x_1, \ldots, x_n ), в которых ошибка достигает максимума.Вычисление вспомогательного полинома: Рассчитывается вспомогательный полином, который равен ( f(x) - P_n(x) ), и строится новый полином на основе смещения ошибок на точках.Обновление: Полином обновляется с использованием полученных точек и вычисляется новая ошибка.

Сходимость: Метод будет сойтись к полиному наилучшего приближения, и дальнейшие итерации будут уточнять значения коэффициентов полинома, минимизируя максимальную ошибку.

Метод Ремеза позволяет находить не только полиномы, но и другие функции, которые минимизируют максимальную ошибку. Это делает его мощным инструментом в численных методах и теории приближений.