Рассмотрим ряд
sum_{n=2}^{\infty} a_n, \quad a_n=\frac{1}{n(\ln n)^p},
где p — действительный параметр. Покажем, при каких p ряд сходится.

1) Интегральный критерий (простой и наглядный).
Рассмотрим функцию f(x)=1/(x(\ln x)^p) для x≥2. f(x)>0 и убывает на достаточно больших x, поэтому можно применить интегральный критерий. Сделаем замену t = ln x, dt = dx/x. Тогда
∫{2}^{∞} f(x)\,dx = ∫{2}^{∞} \frac{dx}{x(\ln x)^p} = ∫{\ln 2}^{∞} t^{-p}\,dt.
Интеграл ∫{A}^{∞} t^{-p} dt сходится тогда и только тогда, когда p>1 (так как при p=1 он равен ln t и расходится, при p<1 интеграл ~ t^{1-p}/(1-p) расходится). Следовательно, по интегральному критерию ряд сходится тогда и только тогда, когда p>1, и расходится при p≤1.

2) Критерий конденсации Коши (альтернативное доказательство).
Пусть a_n положительны и убывают (это верно для n достаточно больших). Критерий конденсации говорит, что sum an сходится тогда и только тогда, когда sum 2^k a{2^k} сходится. Здесь
2^k a_{2^k} = 2^k · \frac{1}{2^k (\ln 2^k)^p} = \frac{1}{(k\ln 2)^p} = \frac{1}{(\ln 2)^p}\cdot\frac{1}{k^p}.
Таким образом конденсированный ряд отличается от ряда p-серий константным множителем, и потому сходится тогда и только тогда, когда p>1.

Пограничный случай p = 1.
Для p=1 имеем an = 1/(n\ln n). По интегральному критерию
∫{2}^{N} \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln N) - \ln(\ln 2) → ∞ при N→∞,
то есть ряд расходится. По критерию Коши при p=1 конденсированный ряд ~ const·sum 1/k также расходится. Заметим, что при p=1 расходимость очень медленная: частичные суммы растут примерно как ln ln N.

Итого:

ряд sum_{n=2}^\infty 1/(n(\ln n)^p) сходится тогда и только тогда, когда p>1;при p≤1 ряд расходится (в частности при p=1 — медленно, частичные суммы ∼ ln ln N).