Найдём все вещественные 2×2 матрицы A, для которых A^2 = I (I — единичная матрица). Будем давать и алгебраическую классификацию, и геометрическую интерпретацию.

1) Алгебраический подход (прямое решение уравнения по элементам).
Пусть A = [[a,b],[c,d]]. Тогда
A^2 = [[a^2+bc, b(a+d)],[c(a+d), d^2+bc]] = I = [[1,0],[0,1]].
Отсюда получаем систему
a^2 + bc = 1,
d^2 + bc = 1,
b(a+d) = 0,
c(a+d) = 0.

Из первых двух: a^2 = d^2, значит (a-d)(a+d)=0, т.е. либо a=d, либо a=-d.
Из третьего и четвёртого: либо a+d = 0, либо b = c = 0.

Два случая:

Если a+d ≠ 0, то b = c = 0 и A диагональна: A = diag(a,d) с a^2 = d^2 = 1, т.е. a,d ∈ {±1}. Это даёт четыре диагональных матрицы: I, −I, diag(1,−1), diag(−1,1).Если a+d = 0 (то есть d = −a), то из a^2 + bc = 1 получаем условие
bc = 1 − a^2.
Это даёт большое семейство матриц с нулевой следой и с bc = 1 − a^2 (в частности det A = ad − bc = −1). Все эти матрицы удовлетворяют A^2 = I.

Замечание: случаи a=d=±1 дают ±I; все матрицы с a+d = 0 имеют след 0 и det = −1 (они соответствуют собственным значениям 1 и −1).

2) Подход через характеристический многочлен / минимальный многочлен
Условие A^2 = I равносильно (A−I)(A+I) = 0, значит минимальный многочлен A делит x^2−1 = (x−1)(x+1). Поэтому все собственные значения A принадлежат {1,−1}. Поскольку корни многочлена различны, A диагонализируема над R (нет ненулевых жордановых блоков размера >1). Значит в подходящем базисе
A = P diag(ε1, ε2) P^{-1}, где εi = ±1.
Таким образом, все A подобны одной из трёх классов:

diag(1,1) = I,diag(−1,−1) = −I,diag(1,−1) (все матрицы, подобные diag(1,−1)).

3) Удобная форма через проекцию
Из (A−I)(A+I) = 0 следует, что P := (A+I)/2 удовлетворяет P^2 = P, то есть P — проекция. Обратно, если P^2 = P, то A := 2P − I даёт A^2 = I. Таким образом каждый оператор-иномифутор (т.е. A^2 = I) однозначно задаёт проекцию P на его 1‑собственное подпространство (A = +1 на Im P) параллельно −1‑подпространству (Ker P).

4) Геометрическая интерпретация

A = I — тождественное преобразование.A = −I — поворот на 180° (центральная симметрия) — умножение всех векторов на −1.Любая матрица с собственными значениями 1 и −1 (то есть подобная diag(1,−1)) фиксирует некоторую прямую (пространство собственных векторов для собствен. значения 1) и меняет знак на некоторой другой прямой (пространство собственных векторов для −1). То есть это «отражение» относительно выбранного разложения R^2 = V+ ⊕ V−: на V+ действует единица, на V− — умножение на −1. Если дополнительно требовать ортонормированности базиса (A ортогональна и det = −1), то такое A — обычное ортогональное отражение относительно прямой через начало; формула для ортогонального отражения относительно прямой, задаваемой единичным вектором u, — A = 2 u u^T − I. В координатах, если u = (cos φ, sin φ), то
A = [[cos 2φ, sin 2φ],[sin 2φ, −cos 2φ]].
Если A не ортогональна, то она всё равно «фиксирует одну линию и меняет знак на другой», но эти линии не обязательно ортогональны — геометрически это просто линейная инволюция (отражение относительно некоторого разложения на прямые, не обязательно взаимно перпендикулярные).

Итого — компактная классификация:
Все 2×2 вещественные матрицы, удовлетворяющие A^2 = I, это ровно матрицы, подобные одной из трёх диагональных матриц diag(1,1), diag(−1,−1), diag(1,−1). Эквивалентная описательная форма: A = 2P − I для некоторой проекции P (P^2 = P). Формула по элементам: либо b = c = 0 и a,d = ±1, либо a + d = 0 и bc = 1 − a^2.