Ниже кратко сравню две простые модели сопротивления воздуха для вертикального падения тела: сила сопротивления, пропорциональная скорости (линейная) и пропорциональная квадрату скорости (квадратичная). Приведу ОДУ, их решения в простейшем случае (падение с нулевой начальной скоростью), формулы для предельной скорости и обсуждение применимости каждой модели.

1) Общая постановка

Пусть вниз положительное направление, масса тела m, ускорение свободного падения g. Обозначим скорость v(t) (v>0 при падении вниз).Силы: тяжесть mg вниз и сопротивление F_d вверх. Уравнение движения:
m dv/dt = mg - F_d(v).

2) Линейная модель (Stokes-подобная)

Модель: F_d = k v (k>0).ОДУ: m dv/dt = mg - k v => dv/dt = g - (k/m) v.Терминальная (стационарная) скорость: v_t = mg/k.Решение при v(0)=0:
v(t) = v_t (1 - e^{- (k/m) t}).
Проекция перемещения (y(0)=0): y(t) = v_t t - (m/k) v_t (1 - e^{- (k/m) t}) = g (m/k) t - g (m/k)^2 (1 - e^{- (k/m) t}).
Более компактно: ввести τ = m/k, тогда v(t)=g τ(1 - e^{-t/τ}), y(t)=g τ t - g τ^2 (1 - e^{-t/τ}).

Особенности:

Подходяща при очень малых числах Рейнольдса Re << 1 (ламинарный вязкий режим), например для маленьких частиц в вязкой среде (капельки, пыльца в жидкости или очень мелкие аэрозоли в воздухе). Для сфер в вязкой среде k = 6 π η r (Stokes), где η — вязкость, r — радиус.Скорость приближается к v_t экспоненциально с временем τ = m/k.

3) Квадратичная модель (инерционно/давление-лобовое сопротивление)

Модель: F_d = c v^2 (при падении вниз; для произвольного направления корректнее F_d = c v |v|).
Обычно c = (1/2) ρ_fluid C_d A (ρ_fluid — плотность среды, C_d — коэффициент сопротивления, A — поперечная площадь).ОДУ: m dv/dt = mg - c v^2 => dv/dt = g - (c/m) v^2.Терминальная скорость: v_inf = sqrt( m g / c ) = sqrt( (2 m g) / (ρ C_d A) ).Решение при v(0)=0 (разделяющая переменные):
v(t) = v_inf tanh( t / τ_q ), где τ_q = sqrt( m / (c g) ) = 1 / sqrt(g c / m).
Перемещение при y(0)=0:
y(t) = v_inf τ_q ln cosh( t / τ_q ).

Особенности:

Применима при больших Re (инерционный режим, доминирует лобовое давление), типично для макроскопических тел в воздухе (парашютист, камень, капли большого радиуса). Для человека/парашютиста формула с c=(1/2)ρ C_d A даёт правильный порядок величины предельной скорости (десятки м/с).При больших временах v→v_inf как tanh, асимптотика: 1 - 2 e^{-2 t/τ_q} (то есть экспоненциальное приближение с характерной величиной 2/τ_q).

4) Сравнение свойств и масштабов

Зависимость предельной скорости от массы:
Линейная: v_t ∝ m (в два раза больше массы → в два раза больше v_t).Квадратичная: v_inf ∝ sqrt(m) (в два раза больше массы → ~1.41× v_inf).Типичный порядок приложимости:
Линейная: Re << 1 (например, молекула/микроскопическая частица в вязкой среде). Для сфер τ = m/k ≈ (2/9) r^2 ρ_s / η (зависит как r^2).Квадратичная: Re ≳ O(10^2) и выше; для тел размером миллиметры и больше в воздухе при типичных скоростях всегда Re достаточен, чтобы квадратичная модель доминировала.Для переходных Re (примерно Re ~ 1–1000) обе модели могут быть несовершенны; часто используют сочетание F_d = k v + c v|v| или эмпирический коэффициент C_d(Re).

5) Практические примеры

Маленькая частица в воде (r ~ 1 μm): Re <<1 → линейная модель, Stokes F=6π η r v.Дождевые капли (r ~ 0.5–2 mm): зависимость не чисто линейная; для больших капель квадратичная доминирует, terminal velocity ~ несколько м/с.Парашютист (m~80 kg, A~0.7 m^2, C_d~1): квадратичная модель даёт v_inf ≈ sqrt((2·80·9.8)/(1.2·1·0.7)) ≈ 40–50 м/с (в посадочной позиция и менее в «паразитном» положении).

6) Уточнения и корректность модели

Знак/направление: для движения с возможной сменой направления правильнее писать F_d = k v + c v|v| или F_d = k v + c v^2 sign(v) в общем случае.Для точных расчётов нужно учитывать форму тела (C_d), локальные условия потока, влияние близкой поверхности, переходную аэродинамику (Oseen, Saffman и т. п.).В практических задачах часто используют простую квадратичную модель для движения в воздухе при нормальных скоростях (нескольких м/с и выше), а линейную — для очень медленных движений в вязких средах.

Коротко: линейная модель — правильно при Re << 1 (мелкие/медленные частицы, вязкая сила доминирует), квадратичная — при инерционно-давленном сопротивлении и больших Re (макротела в воздухе). В промежуточной области применяют комбинированные/эмпирические формулы.