Ряд
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}
не сходится.

Краткое объяснение:

Необходимое условие сходимости ряда: общий член должен стремиться к нулю. Здесь
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}, |a_n|=\frac{n}{n+1}\to 1\neq 0,
поэтому ряд расходится по признаку на сходимость членов (nth-term test).

Дополнительная демонстрация (показывает поведение частичных сумм):
Запишем
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},
тогда
\sum{n=1}^N (-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}=\sum{n=1}^N(-1)^{n-1}-\sum{n=1}^N\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}.
Первая сумма равна 1 при нечётном N и 0 при чётном N. Вторая сумма сходится (это сдвинутая чередующаяся гармоническая), её предел
L=\sum{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}=1-\ln 2.
Следовательно частичные суммы при нечётных N стремятся к 1-L=\ln 2, а при чётных — к -L=\ln 2-1. Имеются два различных предела => ряд расходится (колеблется между ln2 ≈0.6931 и ln2-1≈-0.3069).

О абсолютной/условной сходимости:

Абсолютная сходимость проверяется по сумме |a_n|=\frac{n}{n+1}; так как |a_n|\not\to0, ряд \sum |a_n| расходится. Значит ряд не абсолютно сходится.Поскольку сам ряд тоже расходится, он не является и условно сходящимся.

Какие тесты применимы:

Признак на сходимость членов (необходимое условие) — достаточен здесь: a_n\not\to0 ⇒ ряд расходится.Признак Лейбница (чередующийся ряд) требует a_n→0 и монотонности |a_n|; он неприменим (условие a_n→0 не выполнено).Для абсолютной сходимости достаточно показать расходимость \sum|a_n| (здесь очевидно).

Примеры для сравнения:

Условная сходимость: \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n} (чередующаяся гармоническая) сходится (к ln2), но \sum 1/n расходится — значит условно сходится.Абсолютная сходимость: \sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n^2} сходится и \sum 1/n^2 тоже сходится — значит абсолютно сходится.