Решим уравнение
(x^2 − 1)/(x − 1) = 2.

1) Область определения
Дробь определена при x − 1 ≠ 0, т.е. x ≠ 1. Это важное замечание — любой дальнейший шаг, в котором мы делим на выражение, зависящее от x, требует учёта этой области определения.

2) Упрощение дроби (факторизация и сокращение)
x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1), поэтому для x ≠ 1
(x^2 − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1.
Такое сокращение допустимо только при условии x ≠ 1 (иначе делили бы на ноль).

Тогда при x ≠ 1 уравнение эквивалентно
x + 1 = 2.

Решаем: x = 1. Но это значение нарушает условие x ≠ 1, значит в исходном уравнении решений нет.

3) Альтернативный путь (и почему нужно проверять)
Если бы мы умножили обе части исходного уравнения на (x − 1) без предварительного указания области определения, получили бы
x^2 − 1 = 2(x − 1) ⇒ x^2 − 2x + 1 = 0 ⇒ (x − 1)^2 = 0 ⇒ x = 1.
Это уравнение даёт x = 1, но при x = 1 исходная дробь не определена. Поэтому умножение на выражение, которое может равняться нулю, может ввести ложные («посторонние») решения — необходимо потом проверять такие значения на допустимость в исходном уравнении.

4) Общие замечания о допустимых преобразованиях

Добавление/вычитание одного и того же выражения к/из обеих частей сохраняет множество решений (эквивалентное преобразование).Умножение или деление на выражение сохраняет эквивалентность только если гарантировано, что это выражение ≠ 0 на всех рассматриваемых корнях; если выражение может быть нулём, после таких действий надо отдельно проверить случаи, при которых оно равно нулю.Сокращение множителя в дроби допустимо лишь при условии, что этот множитель ≠ 0 (иначе — предварительно указать исключаемые значения).Возведение в чётную степень, взятие квадратного корня и другие нелинейные операции могут ввести дополнительные корни и требуют последующей проверки найденных решений.Факторизация не меняет множества корней, но при последующей отмене множителя нужно учитывать исключения (см. выше).

Итог: исходное уравнение не имеет решений (множество решений пусто), потому что единственный получившийся корень x = 1 исключён областью определения.