Коротко зададим обозначения (классический вариант SAS). Пусть треугольник ABC, стороны:

a = BC,b = AC,c = AB (искомая),
и γ = ∠C — угол между сторонами a и b (т. е. угол при вершине C).Основные аналитические формулы (точное решение)
Закон косинусов (непосредственно для c):
c = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos γ).
Это даёт длину третьей стороны однозначно (нет "двух решений", в отличие от случая SSA).Остальные углы можно найти двумя стандартными способами.
a) Закон косинусов (для углов):
cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2 b c),
cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2 a c).
затем A = arccos(cos A), B = arccos(cos B).
б) Закон синусов (после вычисления c):
sin A = a sin γ / c, A = arcsin(a sin γ / c),
sin B = b sin γ / c, B = arcsin(b sin γ / c).
Практически рекомендуют комбинировать: получить sin и cos угла и восстановить угол через atan2(sin, cos) — это устойчивее (см. ниже).

Геометрические/конструктивные методы

Элементарная геометрическая постройка: из точки C провести лучы под углом γ; на одном луче отложить сторону b, на другом — a; расстояние между концами отложенных отрезков — c. Это даёт наглядную конструкцию и полезно при черчении, но инструментально зависит от точности построения.Координатный метод (полезен численно): положить C=(0,0), B=(b,0), A=(a cos γ, a sin γ). Тогда
c = hypot(a cos γ − b, a sin γ) (функция hypot = sqrt(x^2+y^2) реализует численно устойчиво).
Углы можно найти как углы между векторами с помощью atan2(cross, dot).

Численные аспекты и устойчивость

Главные источники численных проблем:
1) Вычитание близких чисел при вычислении a^2 + b^2 − 2ab cos γ: если cos γ ≈ 1 и a ≈ b, то в выражении получается разность больших близких величин → потеря значащих цифр (катастрофическая погрешность).
2) Значения аргументов для arccos/arcsin близки к ±1 или 0: arccos теряет устойчивость у ±1, arcsin — у ±1; это даёт большие относительные ошибки в углах.
3) Если c очень мал (треугольник почти вырожденный), то деление на c при вычислении cos A, cos B, sin A и т. п. усиливает ошибки в a, b, γ.

Рекомендации для повышения устойчивости:
• Для c предпочтительнее вычислять через координаты и hypot:
c = hypot(a cos γ − b, a sin γ).
hypot корректно обходит переполнение/недополнение и частично уменьшает потерю точности при вычитании.
• Альтернативно переписывать:
c^2 = (a − b)^2 + 2ab(1 − cos γ),
это иногда лучше, если a≈b и cos γ близок к 1 (но не решает проблему полностью).
• Для углов использовать одновременно sin и cos и восстанавливать угол через atan2:
sin A = a sin γ / c,
cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2 b c),
A = atan2(sin A, cos A).
Аналогично для B. Функция atan2 стабильно даёт угол с правильным знаком и меньшей чувствительностью в критических областях, чем один acos или asin.
• Избегать вычисления acos от значения, чуть выходящего за [-1,1] из-за погрешностей: при необходимости проектировать значение в диапазон [-1,1] перед acos.
• При очень близких a и b и очень малом γ можно использовать развёртку в ряд (асимптотика) для c ≈ |a − b| + (a b γ^2)/(2|a − b|) и т. п., чтобы избежать потери точности.

Линейная аппроксимация погрешностей (оценка чувствительности)
Из c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ при малых приращениях:
dc ≈ [(a − b cos γ)/c]·da + [(b − a cos γ)/c]·db + [ab sin γ / c]·dγ.
Это даёт явные коэффициенты чувствительности. Видно, что делитель c делает dc большим, если c мал. При γ близком к 0 или π sin γ мал → чувствительность к погрешности угла мала, но чувствительность к ошибкам в a, b может быть велика (особенно в случае с малым c).

Сравнение методов по точности/устойчивости (кратко)

Закон косинусов в форме c = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos γ): прост и точен в общем случае, но подвержен вычитательному потере точности при cos γ ≈ 1 и a≈b или при cos γ ≈ −1 и большие a,b (хотя тут хуже — при cos≈−1 разности большие, но переполнение/точность тоже следует контролировать).Координатный метод с hypot: более устойчив на практике (рекомендуется в программировании).Выражения через (a − b)^2 + 2ab(1 − cos γ): частично уменьшает проблему при a≈b.Вычисление углов: лучше строить sin и cos и брать atan2(sin, cos), а не напрямую acos/arcsin.Геометрическая механическая постройка: зависит от инструментов; для инженерных чертежей допустима, для численных вычислений — менее точна, зависит от измерений.

Вырожденные и крайние случаи

γ = 0: точки A, B, C коллинеарны и отложенные отрезки направлены в одну сторону. Тогда
c = |a − b|.
Если a = b и γ = 0, то c = 0 — треугольник дегенерирует в точку или отрезок нулевой площади.γ = π (180°): коллинеарность, но стороны в противоположных направлениях:
c = a + b.a = 0 или b = 0: тривиальные вырожденные случаи (одна вершина совпадает с другой).Невозможные/несогласованные входные данные: численно может получиться отрицательное значение под корнем из-за погрешностей (a^2 + b^2 − 2ab cos γ < 0) — это сигнал либо к некорректным данным (физически невозможно), либо к накоплению ошибок (приближённое отрицательное значение близко к нулю — следует обнулить его, если его абсолютная величина мала по сравнению с суммах входных квадратов).При γ очень малом или очень близком к π треугольник близок к вырожденному; в таких ситуациях относительная неопределённость углов и/или сторон может резко возрастать.

Практическая унифицированная схема (рекомендация)
1) Проверить входные данные на допустимость (a≥0, b≥0, 0≤γ≤π).
2) Вычислить c как c = hypot(a cos γ − b, a sin γ).
3) Если c очень мал (c < ε), считать треугольник вырожденным и обработать отдельно (c ≈ |a − b|).
4) Вычислить sin A = a sin γ / c и cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2 b c) (проектировать cos/sin в допустимые [-1,1] с учётом погрешностей).
5) A = atan2(sin A, cos A), B = π − γ − A (или аналогично через atan2 для B).
6) При необходимости оценить погрешности через формулу для dc (см. выше) и далее для dA, dB (линейная аппроксимация).

Заключение

В общем SAS однозначно решается, но при численных вычислениях важна устойчивость формул.Наилучшие практики: вычислять c через координаты и hypot; углы через комбинацию sin и cos и восстановление через atan2; внимательно обрабатывать случаи, близкие к вырождению (γ≈0 или π, c≈0, a≈b). Анализ чувствительности по частным производным даёт явные критерии, когда относительные ошибки усиливаются.