Краткий ответ: ряд ∑_{n=1}^∞ sin n / n сходится, но не абсолютно (т. е. условно сходится). Ниже — пояснения и доказательства, а также замечания о применимости разных критериев и подводных камнях.

1) Доказательство сходимости (Dirichlet / абелево-преобразование)

Запишем sin n = Im(e^{in}). Частичные суммы SN = ∑{k=1}^N sin k — это мнимая часть геометрической суммы
∑_{k=1}^N e^{ik} = e^{i}(1 − e^{iN})/(1 − e^{i}).
Отсюда S_N ограничены: |S_N| ≤ C для некоторой постоянной C (зависит от 1/|1−e^{i}|).Теперь применим тест Дирихле: если частичные суммы a_1+...+a_N ограничены и b_n монотонно → 0, то ∑ a_n b_n сходится. В нашем случае a_n = sin n (их частичные суммы ограничены), b_n = 1/n (монотонно убывает к 0). Следовательно ∑ sin n / n сходится.

(Эквивалентный способ — суммирование по частям (абелево-преобразование) даёт тот же результат и оценку остатка.)

2) Разложение: не абсолютно

Рассмотрим ∑ |sin n|/n. Среднее значение |sin x| на [0,2π] равно 2/π > 0. Последовательность n (по модулю 2π) равномерно распределена (Weyl), поэтому среднее (1/N)∑{k=1}^N |sin k| → 2/π > 0. Следствием (через частичную сумму и суммирование по частям) является асимптотика ∑{k=1}^N |sin k|/k ∼ (2/π) ln N, и значит ∑ |sin n|/n расходится. Следовательно исходный ряд не абсолютно сходится — сходимость условная.

(Если не использовать теорему эквидистрибуции, то можно привести менее общий, но концептуально близкий аргумент: существуют бесконечно многие n с |sin n|>c>0, и в совокупности они имеют положительную плотность, откуда тоже следует расходимость ∑ |sin n|/n.)

3) Явная сумма

Более того, для любого x ∈ (0,2π) известно тождество
∑{n=1}^∞ (sin nx)/n = (π − x)/2.
Подставляя x = 1 (радиан), получаем явное значение ряда:
∑{n=1}^∞ sin n / n = (π − 1)/2.
(Это стандартная формула для ряда Фурье «пилообразной» функции.)

4) Какие тесты здесь работают и чего избегать

Работают: тест Дирихле (и абелево-преобразование / суммирование по частям), теория рядов Фурье (даёт даже сумму).Не работает: тест абсолютной сходимости (|sin n| ≤ 1 даёт сравнение с ∑ 1/n — даёт только расхождение сравнения, то есть не окончательно), обычный признак Лейбница (нужна строгая знакопеременная структура b_n с монотонным убыванием знака; sin n не чередуется по знакому регулярно), простое предельное сравнение lim (|sin n|/n)/(1/n) даёт несуществующий предел, потому прямое предельное сравнение не даёт результата.Тонкости при преобразованиях и перестановках: поскольку сходимость условная, перестановки членов ряда могут изменить сумму или даже превратить сходящийся ряд в расходящийся (теорема Римана). Поэтому любые превращения, меняющие порядок членов, нужно делать аккуратно.При использовании сравнения с подрядами: важно иметь положительную естественную плотность подряда, иначе из бесконечности членов с |sin n| > c нельзя автоматически вывести расходимость ∑_{sub} 1/n (нужна информация о частоте появления таких n). Именно здесь полезна эквидистрибуция.

5) Итог

Ряд сходится по Дирихле (условно), не сходится абсолютно; можно даже записать сумму (π−1)/2. При анализе избегайте некорректных сравнений и перестановок, используйте суммирование по частям/Дирихле или редуцируйте к известным рядам Фурье.