Классическая модель: у нас n различных (пронумерованных) книг, k полок; на каждой полке порядок книг важен (т. е. на каждой полке — упорядоченная последовательность). Рассмотрим варианты.

1) Полки различимы (пронумерованы), пустые полки запрещены (каждая полка непуста, поэтому n ≥ k).
Комбинаторное построение: сначала расположим все n книг в строку (это можно сделать n! способами), затем разобьём эту строку на k непустых подряд идущих блоков, соответствующих полкам. Разрывов между книгами n−1, нужно выбрать k−1 разрывов:
Количество = n! · C(n−1, k−1).

2) Полки различимы, пустые полки разрешены.
Теперь длины последовательностей на полках — неотрицательные целые l1+…+lk = n. Число векторов (l1,…,lk) равно C(n+k−1, k−1). Для каждой такого выбора длин и для каждой перестановки книг получаем уникальную расстановку. Итого:
Количество = n! · C(n+k−1, k−1).

(Замечание: для n=0 формула даёт 1 — все полки пусты.)

3) Полки неразличимы (непронумерованы), пустые полки запрещены.
Здесь нас интересуют разбиения на k непустых упорядоченных блоков, причём порядок блоков не учитывается. Можно взять результат из пункта 1 (для пронумерованных полок) и учесть, что перестановка номеров полок (перемещение блоков целиком) даёт эквивалентные расположения. Действие группы S_k на множестве пронумерованных расстановок свободно (нет нетривиальной перестановки блоков, оставляющей разбиение неизменным, так как книги различны и блоки различны по содержимому), поэтому делим на k!:
Количество = (n! · C(n−1, k−1)) / k!.

(Это целое число; случай n<k даёт 0.)

4) Полки неразличимы, пустые полки разрешены.
Поскольку пустые полки неразличимы, имеет смысл учитывать только число непустых полок m (0 ≤ m ≤ min(k,n)). Для фиксированного m количество разбиений на m непустых неупорядоченных последовательностей по пункту 3 равно (n! · C(n−1, m−1)) / m!. Поэтому при допуске пустых полок (т. е. «не более k непустых полок») число всех конфигураций:
Количество = sum_{m=1}^{min(k,n)} (n! · C(n−1, m−1) / m!),
а для n=0 — один случай (все полки пусты).

Короткие доказательства/интуиция

Метод «перестановка + разделители» (permutation + bars) — самый прозрачный: упорядочить все книги, затем поставить k−1 разделитель в возможных местах между книгами (для непустых блоков) или позволить разделителям «складываться» в тех же местах/на концах (для пустых полок). Это даёт сочетания C(n−1,k−1) или C(n+k−1,k−1) соответственно.Для неразличимых полок используем действие группы перестановок полок на помеченных конфигурациях; поскольку действие свободно (кроме тривиального случая), число беспометных конфигураций равно числа пометных, делённому на k!.Альтернативный подход: сначала выбрать длины блоков (положительные или неотрицательные композиции), затем распределить книги по позициям (n! способов) — даёт те же формулы.

Если нужно, могу привести несколько конкретных примеров (малые n, k), показать разбиения или обсудить модификации (когда порядок на полке не важен, или книги неразличимы).