Ошибка в рассуждении — в неправильном обращении с обозначением sqrt. На множестве вещественных чисел sqrt(x) обычно означает главную (неотрицательную) квадратный корень и определено только для x ≥ 0. Следовательно равенство
sqrt(xy) = sqrt(x) * sqrt(y)
не имеет смысла при отрицательных x или y (правую или левую часть не определены в R), а при расширении в комплексные числа нужно учитывать многозначность и ветви функции sqrt.

Точное утверждение для вещественных чисел:

Если x ≥ 0 и y ≥ 0, то sqrt(xy) = sqrt(x) · sqrt(y). Доказательство: пусть a = sqrt(x) ≥ 0, b = sqrt(y) ≥ 0, тогда (ab)^2 = x y и ab ≥ 0, значит ab — главный корень xy.В остальных случаях (когда хотя бы одно из x,y < 0) выражение sqrt(x) или sqrt(y) не является вещественным, поэтому равенство в вещественных числах не применимо.

Контрпримеры:

Вещественная постановка: взять x = −1, y = −1. Тогда xy = 1 и sqrt(xy) = 1, но sqrt(−1) в R не определён, так что равенство не имеет смысла в R.Если расширить sqrt до комплексных корней (например, взять главную ветвь), то равенство тоже может не выполняться: sqrt(−1) = i, значит sqrt(−1)·sqrt(−1) = i·i = −1, тогда sqrt((−1)(−1)) = sqrt(1) = 1 ≠ −1.

Ещё смежная частая ошибка: sqrt(x^2) = x — это неверно для всех вещественных x; верно sqrt(x^2) = |x|. Например, для x = −3 имеем sqrt(x^2) = 3 ≠ −3.

Коротко: для вещественных чисел формула корректна только при x ≥ 0 и y ≥ 0; в общем (особенно в комплексной области) нужно учитывать многозначность и ветви sqrt.