Пусть A — действительная матрица 2×2, trace(A) = t, det(A) = d. Характеристический многочлен
λ^2 − tλ + d = 0,
его дискриминант
Δ = t^2 − 4d.

Классификация по Δ:

Δ > 0. Корни λ1,2 = (t ± √Δ)/2 — разные вещественные числа. Матрица имеет два различных вещественных собственных значения и (соответственно) два линейно независимых собственных вектора ⇒ A диагонализируема над R.Δ = 0. Один вещественный корень λ = t/2 кратности 2. Возможны два случая:
A = λI (т.е. A − λI = 0) — геометрическая кратность = 2, матрица уже скалярная и диагонализируема ( = λI).A ≠ λI — геометрическая кратность = 1, матрица имеет один собственный вектор и не диагонализируема (жорданова клетка size 2).Δ < 0. Корни комплексно-сопряжённые λ = t/2 ± i·(√(−Δ)/2). У A нет вещественных собственных векторов, поэтому её нельзя привести к вещественной диагональной форме. Над C собственные значения различны, значит A диагонализируема над C. Над R матрица подобна блоку вида
[α −β; β α], где α = t/2, β = √(−Δ)/2
(ротационно-растягивающий блок).

Критерии диагонализируемости над R (итого):

Если Δ > 0 — всегда диагонализируема над R.Если Δ = 0 — диагонализируема над R тогда и только тогда, когда A = (t/2)I.Если Δ < 0 — не диагонализируема над R в виде действительной диагонали (можно лишь привести к 2×2-ротационно‑дилатационному блоку); над C диагонализируема, т.к. собственные значения различны.

Дополнительно: тождественные условия в терминах элементов матрицы A = [[a,b],[c,e]]: t = a+e, d = ae − bc, Δ = (a+e)^2 − 4(ae − bc) = (a−e)^2 + 4bc.