Ключевая неточность — в том, что с рядом S = 1 − 1 + 1 − 1 + … обращаются как с конечным числом и предполагают, что можно свободно выполнять алгебраические операции (вычитание, сдвиг) над «суммой», не проверив сначала, существует ли эта сумма в обычном смысле. А ряд на самом деле расходится: частичные суммы
s1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, s4 = 0, …,
то есть s2n = 0, s2n+1 = 1, предела у последовательности частичных сумм нет. Следовательно равенства типа S = limit s_n не имеют смысла, и нельзя подставлять S в алгебраические тождества и делать сдвиги рядов, как при работе с конечными суммами.

Классическое «доказательство» S = 1/2 обычно таково:
S = 1 − 1 + 1 − 1 + …,
тогда 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − S, или при другом варианте сдвига получается 1 − S = S, откуда 2S = 1 и S = 1/2.
Обе эти цепочки используют термин «S» как обычное число, но S не определено как предел частичных сумм, поэтому такие операции недопустимы.

Как корректно работать с такими рядами:

Проверять сходимость: ряд ∑ a_n сходится в обычном смысле тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм s_n имеет предел. Для Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + …) предела нет, ряд расходится.Если ряд расходится, обычную сумму ему не присваивают; однако существуют методы регуляризации/суммирования, которые дают "значение" расходящемуся ряду (но это уже другая конструкция, не предел частичных сумм).
Cesàro-суммирование: берут средние арифметические частичных сумм. Для Grandi среднее первых 2N частичных сумм равно 1/2, поэтому ряд Cesàro- ильмово суммируем и его Cesàro-значение равно 1/2.Абелево суммирование: рассматривают функцию f(x)=∑_{n≥0} (-1)^n x^n = 1/(1+x) при 0≤x<1 и берут предел при x→1−; он равен 1/2. Это тоже даёт «1/2», но это не то же самое, что сходимость в обычном смысле.При работе с рядовыми операциями (сложение, умножение, сдвиг, перестановка) надо требовать достаточных условий (например, сходимость, абсолютная сходимость или применение разрешённых методов суммирования). Перестановки и сдвиги могут менять значение или разрушать смысл, если ряд не абсолютно сходится.

Вывод: ошибка — в применении операций, валидных только для сходящихся рядов, к расходящемуся ряду. Корректно: заметить, что ряд не сходится; если нужно получить регуляризованное значение, явно использовать и указать метод суммирования (Cesàro, Абеля и т.п.), который для этого ряда даёт 1/2.