Здравствуйте! Постараюсь объяснить несколькими способами — алгебраически и интуитивно — почему из равенства дробей a/b = c/d следует «перемножение крайних на средние» ad = bc $приb\ne 0иd\ne 0$, и почему это естественно.

1) Прямой алгебраический вывод
a/b = c/d.
Умножим обе части на bd $разрешённаяоперация—умножениенаодноитожечисло$:
$a/b$·bd = $c/d$·bd.
Слева сокращается b, справа — d, получаем:
ad = bc.
Это и есть свойство «крест-накрест».

2) Через множитель $интуитивно$ Равенство дробей означает, что одна доля — в каком‑то смысле — та же самая, что и другая: a/b = c/d = k $например$. Тогда a = k·b и c = k·d. Умножая a на d и c на b, получаем
ad = $k\cdot b$·d = k·$bd$ = b·$k\cdot d$ = bc.
То есть оба произведения равны одному и тому же общему числу k·bd.

3) Геометрическая интуиция $черезподобиетреугольниковилиориентированныеплощади$ Если a/b = c/d, то отрезы a и c пропорциональны отрезам b и d — можно поместить их как соответствующие стороны двух подобных треугольников. Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон одинаково, а это даёт ad = bc. Ещё: векторный $илиориентированный$ «крестовый» детерминант $площадьпараллелограмма$ для векторов $b,a$ и $d,c$ равен ad − bc; равенство долей значит коллинеарность векторов, значит детерминант ноль, значит ad = bc.

4) Простой «практический» пример
2/3 = 4/6. Если разделить что‑то на 3 части и взять 2, или разделить на 6 и взять 4 — получится одно и то же. Перемножая крайние и средние: 2·6 = 12 и 3·4 = 12 — это одно и то же число «мелких единиц», получаемое разными способами группировки.

Итог: правило «перекрёстного умножения» — не магия, а просто следствие определения деления как обратного умножению и правил работы с равенствами $можноумножитьнаодноитожечисло,можноввестиобщиймножительk$. Геометрические модели $подобиетреугольников,площади$ дают дополнительную наглядность.