Краткий ответ: для двух целых чисел по 10 десятичных цифр однозначно лучшим будет традиционный «в столбик» $анапрактике—простомашинноеумножениев64‑битслове$. Алгоритмы Карацубы и FFT имеют смысл только при значительно большей длине чисел из‑за больших накладных расходов.

Обоснование — критерии выбора

Асимптотика vs константы

Школьный алгоритм: O$n^2$ операций умножения «цифра×цифра». Очень маленькие накладные расходы.Карацуба: O$n^{log23}$ ≈ O$n^{1.585}$. Лучше асимптотически, но требует рекурсивных вызовов, дополнительных сложений и выделения/копирования блоков — существенные константы.FFT‑умножение $бинарный/дискретныйсвёрточныйподход,Sch\ddot{o}nhage–Strassenит.п.$: ≈ O$nlogn$. Очень малые асимптотические показатели при больших n, но очень большие константы $FFT,преобразованиясплавающей,постановкаостаточнойНТТит.п.$, требования к памяти и аккуратности округления.

Практическая «граница эффективности»

Для очень маленьких n $парыдесятковцифрименьше$ выигрывает школьный метод $илипрямоодномашинноеумножение,есличислаумещаютсявслово$.Карацуба обычно начинает выигрывать при средних длинах — порядок десятков–сотен машинных «лимбов» $вдесятичныхцифрахэтоможетбытьдесятки–сотницифр$; точный порог зависит от базы/лимба и реализации $компилятор,язык,оптимизация$. Практически: порог может быть порядка нескольких десятков — нескольких сотен десятичных цифр.FFT/Schonhage–Strassen $илиNTT‑реализации$ начинают выигрывать только при очень больших размерах — тысячах–миллионах бит $вдесятичныхцифрах—тысячи–десяткитысячцифрибольше$. В высокооптимизированных библиотеках порог для FFT обычно лежит в районе десятков тысяч — сотен тысяч цифр.

Накладные расходы реализации и точность

Карацуба требует больше кода, рекурсии и памяти; но не имеет проблем с округлением.FFT‑умножение на основе плавающей требует аккуратного контроля погрешностей или перехода на NTT $численноеколебание,необходимостьвыборамодуля/корней,выравниваниепостепенямдвойкиит.д.$. Это усложняет реализацию.Аппаратная поддержка: современный CPU имеет очень быстрый 64‑бит умножитель; если оба числа умещаются в один машинный регистр — достаточно одного машинного умножения.

Применение к указанной задаче $по10десятичныхцифр$

10 десятичных цифр ≈ числа < 10^10 < 2^34, то есть помещаются в 64‑бит целое. Реальный лучший способ — одно машинное умножение $вязыке/библиотеке—простоa\ast b$. Нет никакого смысла раскладывать на половины или вызывать FFT.Даже если считать «цифрой» именно десятичную цифру и сравнивать количества элементарных операций: школьный способ требует 10×10 = 100 операций «цифра×цифра», Карацуба при делении пополам потребует 3 умножения 5×5 $3\times 25=75$ плюс значительные дополнительные сложения и движение данных — на таком маленьком n эти накладные расходы перевесят выигрыш, а на машинном уровне всё ещё эффективнее 1‑операция умножения 64‑бит.

Практические советы

Для длин ≤ несколько десятков–сотен цифр используйте оптимизированный школьный алгоритм или гибрид $Toom‑Cook/Карацубаначинаетприменятьсявнутрибольшихбиблиотектольковышепорога$.Для длины ≳ сотен–тысяч цифр смотрите на Карацубу/Toom‑Cook/гибриды $реализациябиблиотекиопределяетточныйпорог$.Для экстремально больших чисел $тысячи–десяткитысячцифриболее$ используйте FFT/NTT‑методы $Schonhage–Strassenилиболееновые$.

Вывод: для двух 10‑значных чисел — стандартное умножение $встолбикили,напрактике,машинноеумножение$ — самое быстрое и простое решение. Карацуба и FFT — излишни из‑за накладных расходов и реализации.