Ниже собраны основные подходы к факторизации многочлена
P$x$ = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d,
объяснены их идеи и приведены признаки коэффициентов, которые подсказывают, какой метод пробовать в первую очередь.

1) Простые проверки и тривиальные случаи

d = 0 → x делит P$x$: P$x$ = x·Q3$x$. Это самый простой случай.Наличие общего множителя $например,всекоэффициентыделятсянаp$ — вынести за скобку.Если P имеет очевидный квадрат: проверить, не равен ли P$x$ $x^2+ux+v$^2 $сравнитькоэффициенты$.

Когда использовать: всегда первым делом — эти проверки быстры и устраняют простые ситуации.

2) Рациональные / целые корни $теоремаорациональныхкорнях$

Поскольку старший коэффициент = 1, любые рациональные корни целые и делят d. Перечислите все делители d $\pm 1,\pm p,\pm ...$ и подставьте.Для найденного корня r выполните свёртку / синтетическое деление $Horner$, чтобы поделить P$x$ на $x-r$ и уменьшить степень. Повторите для кубического/квадратичного остатка.

Когда использовать: d небольшой по модулю или имеет мало делителей → быстрый успех. Если P имеет рациональные/целые корни, это наиболее экономичный путь.

3) Попытка разложения в квадраты/на два квадратных множителя с целыми/рациональными коэффициентами

Ищем $x^2+px+q$$x^2+rx+s$. Приравниваем коэффициенты:
p + r = a,
pr + q + s = b,
ps + qr = c,
q s = d.
Если d имеет фактораизацию, пробуйте целые q,s $делителиd$ и решайте простую систему.Можно также рассматривать случай одного линейного и одного кубического множителя, если найден рациональный корень.

Когда использовать: коэффициенты целые, d факторизуем на небольшое число комбинаций; подходит, когда хочется целочисленного разложения.

4) Специальные структуры: біквадратичноtь, симметричность, анти-симметричность

Биквадратичная форма: если a = c = 0, то P$x$ = x^4 + b x^2 + d — делаем замену y = x^2 и решаем квадратное уравнение по y.Рекурсивность / палиндромность $самоопределённость$: если коэффициенты симметричны $пристаршемкоэффициенте1этоозначаетd=1иc=a$: P$x$ = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1. Тогда через деление на x^2 и подстановку t = x + 1/x получаем квадратичное уравнение по t: t^2 + a t + $b-2$ = 0. Отсюда корни x получаются из решения x + 1/x = t.Антирекурсия $коэффициентыприсимметричныхстепеняхпротивоположны$ — тоже даёт упрощения с заменой x − 1/x и т.д.

Когда использовать: заметна симметрия коэффициентов; особенно удобно, если d = 1 $илипоследниекоэффициентыкратныстаршему$.

5) Устранение кубического члена $депрессированныйквартат$ и метод Феррари

Делается замена x = y − a/4, чтобы избавиться от члена x^3. Получаем депрессированный четвертой степени: y^4 + P y^2 + Q y + R. Затем применяют метод Феррари $вводятвспомогательноеuчерезрешениеразрешающегокубического$, что даёт явные выражения для корней $врадикалах$.
Когда использовать: когда нужны точные выражения для корней/факторов в радикалах, или никакие простые структурные признаки не сработали. Метод громоздкий вручную, но стандартен в алгебре.

6) Проверка на кратные корни $gcdспроизводной$

Если есть подозрение на кратные корни, вычислить gcd$P,P^{\prime }$ $вQ[x]$; ненулевой многочлен степени ≥ 1 укажет на кратные множители. Это помогает либо упростить факторизацию, либо найти квадратические квадраты.

Когда использовать: если корни кажутся кратными по оценке, или по графику/численно видно касание оси.

7) Алгоритмические и численные методы $когдаточныйразборнеудобен$

Численные методы для нахождения всех корней: Newton–Raphson $дляодногокорня$, Durand–Kerner, Jenkins–Traub $длявсехкомплексныхкорней$, QR‑алгоритм для companion matrix.После численного приближения можно построить точные факторы при помощи аппроксимации/алгоритмов факторизации над Q $вCAS$: факторизация по модулю простого p + подъем $Hensel$ и рациональное восстановление.
Когда использовать: коэффициенты большие/сложные, нет рациональных корней, нужен быстрый численный ответ; или когда факторизация в Q невозможна/очень громоздка.

8) Факторизация по модулю p и критерии неприводимости

Попробовать факторизацию P mod p для нескольких простых p. Если P невозводим mod p, то, возможно, он неприводим над Q. Напр., критерий Эйзенштейна показывает неприводимость в Q для подходящего простого p $еслиpделитa,b,c,d,ноp^2неделитd$.
Когда использовать: нужно доказать неприводимость над Q или помочь найти факторизацию через Hensel-лмфт.

9) Информационные признаки по знакам и Vieta

Произведение корней = d $помогает:знакdдаётпаритетчислаотрицательныхкорней$.Сумма корней = −a.Правило знаков Декарта даёт максимальное число положительных корней по числу смен знака в последовательности коэффицентов.Число корней > 0/ < 0 можно оценивать также через подстановку x→−x и счёт смен знака.
Когда использовать: чтобы выбрать начальные приближения для численных методов, понять есть ли положительные корни, есть ли возможность двух отрицательных и т.д.

Практическая последовательность действий $рекомендация$

Быстрые проверки: d = 0, общий множитель, би-квадрат, симметрия.Рациональные корни $делителиd$ и свёртки; если найден — повторять.Попытка разложения в квадраты $x^2+px+q$$x^2+rx+s$ с перебором делителей d.Если ничего не нашлось и нужен точный аналитический результат — депрессировать и применять Феррари.Если нужен численный результат или коэффициенты большие/компьютерное решение — применять численные алгоритмы $Durand–Kerner,Jenkins‑Traub$ или CAS.Для доказательства неприводимости — Эйзенштейн или факторизация по модулю p и Hensel‑подъём.

Короткие подсказки «по признакам коэффициентов»

Маленькое |d| $илималоделителей$ → пробовать рациональные/целые корни.a = c = 0 → биквадрат $заменаy=x^2$.c = a и d = 1 $симметрия$ → подстановка t = x + 1/x.Если многие коэффициенты делятся на одно простое p и p^2 ∤ d → Эйзенштейн → неприводим над Q.Если коэффициенты «большие/беспорядочные» и нет рациональных корней → численные методы или Феррари для точного решения.Если ожидаются кратные корни → проверить gcd$P,P^{\prime }$.

Если хотите, могу:

показать конкретный пример факторизации методом $подбормножителей$ или через Феррари;написать короткий алгоритм $псевдокод$ для автоматической факторизации в порядке рекомендуемых шагов.