Краткая идея. Пусть в треугольнике ABC заданы длины медиан m_a $медианаизвершиныA$ и m_b $медианаизвершиныB$ и угол φ между этими медианами $уголмеждуихпрямымивточкепересечения$. Медианы пересекаются в центроиде G и каждая медиана делится центроидом в отношении 2:1 $расстояниеотвершиныдоGравно2/3длинысоответствующеймедианы$. Обозначим

a1 = 2/3 · m_a = |GA|,b1 = 2/3 · m_b = |GB|,φ = угол ∠AGB.

Тогда точки A и B однозначно задаются относительно G: из точки G откладывают в разных направлениях отрезки длины a1 и b1, образующие угол φ. Третья вершина C определяется по соотношению координат центра масс: G = $A+B+C$/3, откуда
C = 3G − A − B,
или в векторной форме
GC = −$GA+GB$.

Это даёт простой и чисто геометрический построенный алгоритм.

Алгоритм построения $геометрически$:

На листе выберите произвольную точку G $будущийцентроид$.Через G постройте два луча, образующие заданный угол φ.На первом луче отложите отрезок GA длины a1 = 2/3·m_a — получена точка A.На втором луче отложите отрезок GB длины b1 = 2/3·m_b — получена точка B.Постройте точку D как вершину параллелограмма с соседними вершинами в A и B: через A проведите прямую, параллельную GB, через B — прямую, параллельную GA; их пересечение — точка D = G + $GA+GB$.Отразите точку D относительно точки G $симметричноотносительноG$ — получите C. $ЭтореализацияформулыC=G-(GA+GB).$Проверка: медиана из A в середину BC будет иметь длину m_a, из B — m_b, угол между ними в G будет φ.

Замечание по практической построимости: шаг 5–6 можно заменить прямым построением векторов: положив в G два вектора длины a1 и b1 с углом φ, суммировать их $построитьпараллелограмм$ и взять противоположный вектор к сумме.

Существование и единственность решения

Если заданные числа m_a > 0, m_b > 0 и угол φ удовлетворяют 0 < φ < π $тоесть\phi неравен0°инеравен180°$, то описанная конструкция даёт единственный $всмыслегеометрическойоднозначностидоперемещенияиповоротаплоскости$ невырожденный треугольник. Единственность: A и B однозначно заданы относительно G, а C однозначно вычисляется по C = 3G − A − B. Возможны две «ориентации» $зеркальныеотражения$ в зависимости от того, в какую сторону от первой луча откладывать второй луч $лево/право$, но эти два решения совпадают с точностью до зеркального отражения $тоестьконгруэнтны$.Если φ = 0° или φ = 180° $медианылежатнаоднойпрямой$, то треугольник всегда вырождается $точкиA,B,Cколлинеарны$. Это значит, что нет невырожденного (площадью > 0) треугольника с такими данными. $Еслидопускаетсявырождение,топри\phi =0°или\phi =180°будетединственноеколлинеарноерасположениевершин,определяемоеотложеннымиотрезкамиa1иb1;при\phi =180°иa1=b1получаетсядополнительнаявырождённаяситуациясC=G.$Конкретный особый случай: если φ = 180° и a1 = b1 $т.е.m_a=m_b$, то GA = −GB, отсюда GA + GB = 0 и получается GC = 0 → C = G. Это нельзя считать допустимой вершиной треугольника $Cсовпадаетсцентроидом$, значит нет допустимого треугольника.

Граничные/особые случаи, когда построение невозможно или неоднозначно

m_a ≤ 0 или m_b ≤ 0 — физически невозможно $медианыположительны$. (Надо m_a, m_b > 0.)φ = 0° или φ = 180° — медианы коллинеарны → треугольник вырождается; нет невырожденного решения. $Еслидопускаютвырожденный,тостроитсяодноколлинеарноерасположение.$φ = 180° и m_a = m_b — даёт C = G $невозможныйслучайдлятреугольника$.Двойственность ориентации $нестрогаянеоднозначность$: при 0 < φ < 180° построение даёт два зеркально-симметричных решения в зависимости от стороны, в которую откладывается второй луч; эти два решения конгруэнтны, поэтому с точки зрения «треугольник как фигура до движения в плоскости» решение единственно. Если же требуют именно расположение в фиксированной плоскости с указанием ориентации, то есть два $зеркальные$.

Дополнительные замечания

Можно явно выразить расстояния между вершинами через a1, b1, φ: AB = |GA − GB|, т.е.
AB^2 = a1^2 + b1^2 − 2 a1 b1 cos φ,
и т.д.; поэтому при желании можно заранее вычислить длины сторон получающегося треугольника.Отметим ещё раз: никакой дополнительной «ограничивающей» неравенств между m_a, m_b и φ (при 0 < φ < π) не требуется: для любых положительных m_a, m_b и угла в открытом интервале $0,\pi$ конструкция даёт корректный $невырожденный$ треугольник.

Короткая резюме:

Построение: от точки G отложить GA=2/3 m_a и GB=2/3 m_b под углом φ, через A и B провести параллельные прямые к GB и GA, получить D, отразить D через G → C.Существует и единственно $доконгруэнтности$ при m_a>0, m_b>0 и 0<φ<π.Невозможно $всмысленевырожденноготреугольника$: φ=0° или φ=180° $особеннопри\phi =180°иm_a=m_bдаётещёC=G$.